Давайте начнем с того, что дано равенство:
[
ab + bc + ca = a + b + c.
]
Мы можем переписать это равенство следующим образом:
[
ab + bc + ca - a - b - c = 0.
]
Добавим единицу к обеим сторонам:
[
ab + bc + ca - a - b - c + 1 = 1.
]
Теперь мы можем переписать это в виде:
[
(ab - a) + (bc - b) + (ca - c) + 1 = 0.
]
Из этого равенства можно заметить, что (a), (b) и (c) должны быть положительными числами, поскольку справа находится единица.
Теперь перейдем к неравенству, которое нам необходимо проверить:
[
\left( \frac{1}{30} a + 1 \right) + \left( \frac{1}{30} b + 1 \right) + \left( \frac{1}{30} c + 1 \right) \geq \frac{3}{k}.
]
Упростим левую часть:
[
\frac{1}{30}(a + b + c) + 3 \geq \frac{3}{k}.
]
Из этого неравенства можно выразить (k):
[
\frac{1}{30}(a + b + c) + 3 \geq \frac{3}{k} \implies k \geq \frac{3 \cdot 30}{a + b + c + 90}.
]
Теперь нам нужно найти наименьшее значение (k). Мы получаем, что:
[
k \geq \frac{90}{a + b + c} + 30.
]
Чтобы минимизировать (k), нужно максимизировать (a + b + c). Используем исходное равенство. Мы знаем, что выполняется равенство: (ab + bc + ca = a + b + c).
Предположим, что (a = b = c). Подставим (a) вместо (b) и (c):
[
3a^2 = 3a \implies a^2 = a \implies a(a - 1) = 0.
]
Так как (a) положительное, то (a = 1), (b = 1), (c = 1).
Таким образом, (a + b + c = 3) и подставим это значение в неравенство:
[
k \geq \frac{90}{3} + 30 = 30 + 30 = 60.
]
Таким образом, наименьшее значение (k), для которого неравенство будет выполняться для всех положительных чисел (a), (b), (c), равное:
[
\boxed{60}.
]
