реши

Решим уравнение:

\[ 2 \sin^2\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) - \sin^2\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \cos^4{x}. \]

Начнем с преобразований.

1. Используем тождество двойных углов: \(\sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2}\).

2. Пусть \(A = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\) и \(B = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\).

Тогда:

\[ 2\sin^2 A = 2 \left(\frac{1 - \cos(2A)}{2}\right) = 1 - \cos(2A) \]

и

\[ \sin^2 B = \frac{1 - \cos(2B)}{2}. \]

3. Подставляем в уравнение:

\[ 1 - \cos(2A) - \frac{1 - \cos(2B)}{2} = \cos^4{x}. \]

4. Найдем \(2A\) и \(2B\):

\[ 2A = x - \frac{\pi}{2}, \quad 2B = x + \frac{\pi}{2}. \]

Получаем:

\[ 1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1 - \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \cos^4{x}. \]

5. Используем свойства косинуса: \(\cos\left(x \pm \frac{\pi}{2}\right) = \mp\sin x\).

С учетом этого преобразуем уравнение:

\[ 1 - (-\sin x) - \frac{1 - \sin x}{2} = \cos^4{x}. \]

6. Упростим левую часть:

\[ 1 + \sin x - \frac{1}{2} + \frac{\sin x}{2} = \cos^4{x}. \] \[ \frac{1}{2} + \frac{3\sin x}{2} = \cos^4{x}. \]

7. Поскольку \(\cos^4{x} = (1 - \sin^2{x})^2\), решаем получившееся уравнение.

Получаем уравнение, решаемое численно или графически.