Реши

Решим уравнение: \[ 2 \sin^2\left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) - \sin^2\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \cos^4{x}. \] Начнем с преобразований. 1. Используем тождество двойных углов: \(\sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2}\). 2. Пусть \(A = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\) и \(B = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\). Тогда: \[ 2\sin^2 A = 2 \left(\frac{1 - \cos(2A)}{2}\right) = 1 - \cos(2A) \] и \[ \sin^2 B = \frac{1 - \cos(2B)}{2}. \] 3. Подставляем в уравнение: \[ 1 - \cos(2A) - \frac{1 - \cos(2B)}{2} = \cos^4{x}. \] 4. Найдем \(2A\) и \(2B\): \[ 2A = x - \frac{\pi}{2}, \quad 2B = x + \frac{\pi}{2}. \] Получаем: \[ 1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1 - \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} = \cos^4{x}. \] 5. Используем свойства косинуса: \(\cos\left(x \pm \frac{\pi}{2}\right) = \mp\sin x\). С учетом этого преобразуем уравнение: \[ 1 - (-\sin x) - \frac{1 - \sin x}{2} = \cos^4{x}. \] 6. Упростим левую часть: \[ 1 + \sin x - \frac{1}{2} + \frac{\sin x}{2} = \cos^4{x}. \] \[ \frac{1}{2} + \frac{3\sin x}{2} = \cos^4{x}. \] 7. Поскольку \(\cos^4{x} = (1 - \sin^2{x})^2\), решаем получившееся уравнение. Получаем уравнение, решаемое численно или графически.