Сергею задали 6 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что Сергей решит каждую отдельную задачу, равна 0,75. Сопоставьте условие задачи с его ответом. Найдите…

Для решения поставленных задач будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае 6 задач), каждое из которых имеет два возможных исхода: задача решена или не решена.

Обозначим:

• \( n = 6 \) (количество задач),
• \( p = 0.75 \) (вероятность решения каждой задачи),
• \( q = 1 - p = 0.25 \) (вероятность не решения задачи).

Вероятность того, что Сергей решит \( k \) задач, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \]

где \( C(n, k) \) — число сочетаний, которое можно вычислить как \( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n-k)!} \).

1. Вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач \( P(X \geq 3) \):

Это вероятность того, что Сергей решит 3 или более задач: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6). \]

Для расчёта:

• \( P(X = 3) = C(6, 3) \cdot 0.75^3 \cdot 0.25^3 = 20 \cdot 0.421875 \cdot 0.015625 = 0.132 \)
• \( P(X = 4) = C(6, 4) \cdot 0.75^4 \cdot 0.25^2 = 15 \cdot 0.31640625 \cdot 0.0625 = 0.297 \)
• \( P(X = 5) = C(6, 5) \cdot 0.75^5 \cdot 0.25^1 = 6 \cdot 0.2373046875 \cdot 0.25 = 0.354 \)
• \( P(X = 6) = C(6, 6) \cdot 0.75^6 \cdot 0.25^0 = 1 \cdot 0.17803125 = 0.178 \)

Теперь суммируем: \[ P(X \geq 3) \approx 0.132 + 0.297 + 0.354 + 0.178 \approx 0.961. \]

2. Вероятность того, что Сергей решит все задачи \( P(X = 6) \): \[ P(X = 6) = C(6, 6) \cdot 0.75^6 \cdot 0.25^0 = 1 \cdot 0.17803125 = 0.178. \]

3. Вероятность того, что Сергей решит менее 3 задач \( P(X < 3) \): \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2). \]

Для расчёта:

• \( P(X = 0) = C(6, 0) \cdot 0.75^0 \cdot 0.25^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000244140625 = 0.000244 \)
• \( P(X = 1) = C(6, 1) \cdot 0.75^1 \cdot 0.25^5 = 6 \cdot 0.75 \cdot 0.0009765625 = 0.00439453125 \)
• \( P(X = 2) = C(6, 2) \cdot 0.75^2 \cdot 0.25^4 = 15 \cdot 0.5625 \cdot 0.00390625 = 0.0222 \)

Теперь суммируем: \[ P(X < 3) \approx 0.000244 + 0.004394 + 0.0222 \approx 0.026838. \]

Таким образом, окончательные ответы:

• Вероятность того, что Сергей решит не менее 3 задач: примерно 0.961.
• Вероятность того, что Сергей решит все задачи: примерно 0.178.
• Вероятность того, что Сергей решит менее 3 задач: примерно 0.0268.