22-13

To solve the problems you've posted, we need to simplify the expressions using algebraic identities and factoring techniques. Here's a step-by-step breakdown for each:

852. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

Given: \( a^2 - 2ab + b^2 \)

This expression is a perfect square trinomial and can be expressed as:

• Option (в): \( (a - b)^2 \)

Here, the perfect square formula \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) is applied.

853. Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы после умножения и приведения подобных членов получалось данное квадратное трёхчлен:

Let's break down each option:

• а) \( 8a \cdot b + b^2 = 8ab + b^2\) (no perfect square here)
• b) \( 16x \cdot y + y^2 = 16xy + y^2\) (option is not developed)
• c) \( 25a \cdot b + b^2 = 25ab + b^2\) (option is not developed)

Given these not clear developments, let's skip to next identifiable solution.

854. Впишите вместо знака = недостающее одночленное, чтобы получилось тождество:

• а) \( (x + 2a)^2 = x^2 + 4ax + \underline{4a^2}\) This follows the identity \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).

• b) \( (3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + \underline{y^2}\) Applying the same identity here \((3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\).

854 (continued). Замените знак * таким одночленом, чтобы после умножения и приведения подобных членов можно было получить данное выражение:

• а) \( (a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9 + 2a = a^2 - 4a + 9\)

To check: \[ (a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9 \]

Add: \[ a^2 - 6a + 9 + 2a = a^2 - 4a + 9 \] Hence, it's consistent.

• б) \( 2a(2a + 4b) = 4a^2 + 8ab\) \[ 4a^2 + 8ab \equiv 4(a^2 + 2ab) = (2a + 2b)^2 \] (Expanding doesn’t match)

• в) \( 4(9p^2 - 4q^2) = 36p^2 - 16q^2 = (6p - 4q)(6p + 4q) \text{ or simplified further (for identities) }\)

855. Предстaвьте трёхчлен в виде квадрата двучлена и удвоенного произведения, противоположного квадрату двучлен:

Using given options, you'll apply the squared base identities directly noting adjustment:

• а) \( x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2 - 0 \) Possible Identity: Base square with zero adjustment left.

• б) \( y^2 - 20y + 49 \approx (y - 10)^2 - (1+3^2) \) Find setup to full identity.

• в) \( 4q^2 + 24qz + 36z^2 = (2q + 6z)^2 - 0 \) Simplified into a base squared completed.

These steps will allow you to see the algebraic transformation and identities used for factoring operations in mathematics.