. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B_{1} и C_{1} Най- дите длину…

Давайте разберем каждый из представленных случаев.

1. Случай 1: \(CC_1 = 15 \, \text{см}, \, \frac{AC}{BC} = \frac{2}{3}\).

   По теореме о пропорциональности, если прямые проведены параллельно, то соответствующие сегменты отрезков будут пропорциональны друг другу. Обозначим \(AC = 2k\), тогда \(BC = 3k\). Сначала найдем \(AB\): \[ AB = AC + BC = 2k + 3k = 5k. \] Поскольку \(C_1C = CC_1\), \(CC_1 = AC \cdot k\) и \(BB_1 = BC \cdot k\) будут пропорциональны длинам \(CC_1\) и \(BB_1\). \[ \frac{BB_1}{CC_1} = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{2k} = \frac{3}{2} \Rightarrow BB_1 = CC_1 \cdot \frac{3}{2} = 15 \cdot \frac{3}{2} = 22,5 \, \text{см}. \]

2. Случай 2: \(CC_1 = 8, 1 \, \text{см}, \, \frac{AB}{AC} = \frac{11}{9}\).

   Обозначим \(AC = 9m\), тогда \(AB = 11m\). Поскольку \(BC = AB - AC = 11m - 9m = 2m\). Применим аналогичное распределение: \[ \frac{BB_1}{CC_1} = \frac{BC}{AC} = \frac{2m}{9m} = \frac{2}{9} \Rightarrow BB_1 = CC_1 \cdot \frac{2}{9} = 8.1 \cdot \frac{2}{9} \approx 1.8 \, \text{см}. \]

3. Случай 3: \(AB = 6 \, \text{см}, \, \frac{AC}{CC_1} = \frac{2}{5}\).

   Здесь обозначим \(AC = 2n\) и \(CC_1 = 5n\). Получаем: \[ AB = AC + BC = 2n + BC, \] при этом \(BC = 6 - 2n\). Так \(C_1C = 5n\) и, следовательно, в данном случае можно применить пропорции. Для нахождения длины отрезка \(BB_1\): \[ \frac{BB_1}{CC_1} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{BB_1}{5n} = \frac{6 - 2n}{2n} \Rightarrow BB_1 = 5n \cdot \frac{6 - 2n}{2n} = \frac{30n - 10n^2}{2n}. \] Чтобы получить более точное число, мне необходимо знать значение \(n\).

4. Случай 4: \(AC = a, BC = b, CC_1 = c\).

   И все расчеты будут следующими: \[ \frac{BB_1}{CC_1} = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a} \Rightarrow BB_1 = c \cdot \frac{b}{a}. \]

Вот общие решения для всех рассматриваемых случаев.