Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу угла противолежащего этой стороне является постоянным для всех трех сторон и углов.
Обозначим:
- ( a = BC = 4\sqrt{6} ) — сторона, противолежащая углу ( A ),
- ( b = AC ) — сторона, противолежащая углу ( B ),
- ( c = AB ) — сторона, противолежащая углу ( C ),
- ( \angle A = \angle BCA = 45^\circ ),
- ( \angle B = \angle ABC = 60^\circ ).
Сначала найдем угол ( C ):
[
\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ.
]
Теперь применим теорему синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.
]
Подставим известные значения и найдем ( AC ):
[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}.
]
Подставим наши значения:
[
\frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}.
]
Синусы углов:
(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}).
Теперь подставим:
[
\frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
]
Упрощаем левую часть:
[
\frac{4\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}.
]
Теперь у нас есть равенство:
[
8\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
]
Умножим обе стороны на (\frac{\sqrt{3}}{2}):
[
AC = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12.
]
Таким образом, длина стороны ( AC ) равна:
[
AC = 12.
]
