решите задачу с помощью теоремы синусов: треугольник АВС угол ВАС=45° угол АВС=60° ВС=4√6 найти:АС-?
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу угла противолежащего этой стороне является постоянным для всех трех сторон и углов.
Обозначим:
- \( a = BC = 4\sqrt{6} \) — сторона, противолежащая углу \( A \),
- \( b = AC \) — сторона, противолежащая углу \( B \),
- \( c = AB \) — сторона, противолежащая углу \( C \),
- \( \angle A = \angle BCA = 45^\circ \),
- \( \angle B = \angle ABC = 60^\circ \).
Сначала найдем угол \( C \): \[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. \]
Теперь применим теорему синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. \]
Подставим известные значения и найдем \( AC \): \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \] Подставим наши значения: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}. \]
Синусы углов: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Теперь подставим: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
Упрощаем левую часть: \[ \frac{4\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}. \]
Теперь у нас есть равенство: \[ 8\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ AC = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12. \]
Таким образом, длина стороны \( AC \) равна: \[ AC = 12. \]
