x/(x+2)+(x+2)/(x-2)-8/(x^2-4)=0 решить через дискриминант
Решим уравнение:
\[ \frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} = 0. \]
Сначала упростим выражение. Заметим, что \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:
\[ \frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} - \frac{8}{(x+2)(x-2)} = 0. \]
Теперь найдем общий знаменатель, которым будет \((x+2)(x-2)\):
\[ \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} - \frac{8}{(x+2)(x-2)} = 0. \]
Объединим дроби:
\[ \frac{x(x-2) + (x+2)^2 - 8}{(x+2)(x-2)} = 0. \]
Теперь приравняем числитель к нулю:
\[ x(x-2) + (x+2)^2 - 8 = 0. \]
Распределим и упростим:
\[ x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 - 8 = 0, \] \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0. \]
Упростим уравнение, разделив его на 2:
\[ x^2 + x - 2 = 0. \]
Теперь найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-1 \pm \sqrt{9}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-1 \pm 3}}{2}. \]
Это дает нам два решения:
- \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\),
- \(x_2 = \frac{-4}{2} = -2\).
Теперь проверим, нет ли деления на ноль:
- Для \(x = 1\): \(x^2 - 4 = 1 - 4 = -3\) (не ноль).
- Для \(x = -2\): \(x^2 - 4 = 4 - 4 = 0\) (деление на ноль).
Таким образом, корнем уравнения является \(x = 1\). Ответ:
\[ x = 1. \]
