Решим уравнение:
[
\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} - \frac{8}{x^2-4} = 0.
]
Сначала упростим выражение. Заметим, что (x^2 - 4 = (x+2)(x-2)). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:
[
\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} - \frac{8}{(x+2)(x-2)} = 0.
]
Теперь найдем общий знаменатель, которым будет ((x+2)(x-2)):
[
\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} - \frac{8}{(x+2)(x-2)} = 0.
]
Объединим дроби:
[
\frac{x(x-2) + (x+2)^2 - 8}{(x+2)(x-2)} = 0.
]
Теперь приравняем числитель к нулю:
[
x(x-2) + (x+2)^2 - 8 = 0.
]
Распределим и упростим:
[
x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 - 8 = 0,
]
[
2x^2 + 2x - 4 = 0.
]
Упростим уравнение, разделив его на 2:
[
x^2 + x - 2 = 0.
]
Теперь найдем дискриминант (D):
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-1 \pm \sqrt{9}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-1 \pm 3}}{2}.
]
Это дает нам два решения:
- (x_1 = \frac{2}{2} = 1),
- (x_2 = \frac{-4}{2} = -2).
Теперь проверим, нет ли деления на ноль:
- Для (x = 1): (x^2 - 4 = 1 - 4 = -3) (не ноль).
- Для (x = -2): (x^2 - 4 = 4 - 4 = 0) (деление на ноль).
Таким образом, корнем уравнения является (x = 1). Ответ:
[
x = 1.
]
