В подобных треугольниках DOM и D1O1M1 известно, что площадь треугольника D1O1M1 больше площади треугольника DOM на 78 и D101 : DO = 8 : 5. Найти площадь треугольника DOM.

Давайте обозначим площадь треугольника DOM как S.

Согласно условию, площадь треугольника D1O1M1 больше площади треугольника DOM на 78, то есть:

\[ S_{D1O1M1} = S + 78. \]

Также известно, что отношение сторон D1O1 и DO равно 8:5, что говорит о том, что треугольники подобны и отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон:

\[ \frac{S_{D1O1M1}}{S} = \left( \frac{D1O1}{DO} \right)^2 = \left( \frac{8}{5} \right)^2 = \frac{64}{25}. \]

Таким образом, можно записать уравнение:

\[ \frac{S + 78}{S} = \frac{64}{25}. \]

Умножим обе стороны на 25S:

\[ 25(S + 78) = 64S. \]

Раскроем скобки:

\[ 25S + 1950 = 64S. \]

Переносим все члены с S в одну сторону:

\[ 1950 = 64S - 25S, \] \[ 1950 = 39S. \]

Теперь можем найти S:

\[ S = \frac{1950}{39} = 50. \]

Итак, площадь треугольника DOM равна 50.