Чтобы решить систему неравенств, будем разбираться с каждым из неравенств по отдельности.
Система неравенств
a)
(12x - 9 < 7x + 11)
Переносим все (x) в одну сторону и числа в другую:
[
12x - 7x < 11 + 9
]
[
5x < 20
]
Разделим обе стороны на 5:
[
x < 4
]
(11x - 13 > 7x - 4)
Переносим все (x) в одну сторону и числа в другую:
[
11x - 7x > -4 + 13
]
[
4x > 9
]
Разделим обе стороны на 4:
[
x > \frac{9}{4} \quad (или \quad x > 2.25)
]
Теперь объединим два результата:
[
\frac{9}{4} < x < 4
]
Система неравенств
6)
(2x + 11 > 5x - 4)
Переносим все (x) в одну сторону и числа в другую:
[
11 + 4 > 5x - 2x
]
[
15 > 3x
]
Разделим обе стороны на 3:
[
x < 5
]
(5x + 6 < x - 8)
Переносим все (x) в одну сторону и числа в другую:
[
5x - x < -8 - 6
]
[
4x < -14
]
Разделим обе стороны на 4:
[
x < -\frac{14}{4} \quad (или \quad x < -3.5)
]
Теперь объединим два результата:
[
x < -3.5 \quad (или \quad x < -\frac{14}{4})
]
Решение неравенств
3. а)
(x^2 + 9x + 8 < 0)
Чтобы найти корни, используем дискриминант:
[
D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49
]
Корни:
[
x_1 = \frac{-9 - 7}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-9 + 7}{2} = -1
]
Нас интересуют промежутки, где парабола под осью (x):
[
(x_1, x_2) = (-8, -1)
]
Ответ: ((-8 < x < -1))
3. 6)
(x^2 + 4x + 7 > 0)
Чтобы найти корни, сначала находим дискриминант:
[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12
]
Поскольку дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось (x) и всегда положительна, следовательно:
Ответ: (x \in \mathbb{R})
3. г)
(x^2 - 6x > 0)
Факторизуем:
[
x(x - 6) > 0
]
Корни: (x = 0) и (x = 6). Наша задача - определить знаки на промежутках:
- ( (-\infty, 0) ): знаки ((-)(-)) → положительно.
- ( (0, 6) ): знак ((+)(-)) → отрицательно.
- ( (6, \infty) ): знак ((+)(+)) → положительно.
Решение: (x < 0) или (x > 6).
Итоговые ответы:
- ( \frac{9}{4} < x < 4 )
- ( x < -3.5 )
- а) ((-8 < x < -1))
- (x \in \mathbb{R})
- г) (x < 0) или (x > 6)
