Из вершины развёрнутого угла A B C ABC провели лучи B D BD и B E BE так, что B E BE — биссектриса угла D B C DBC и угол A B D = 7 2 ∘ ABD=72 ∘ . Найди угол A B E ABE .

Угол \( ABD = 72^\circ \) — это угол между лучами \( AB \) и \( BD \).

Так как \( BE \) является биссектрисой угла \( DBC \), то:

\[ \angle ABE = \angle ABD + \angle EBD \]

Обозначим угол \( DBC \) через \( x \). Поскольку \( BE \) — биссектрисa, угол \( EBD = \frac{x}{2} \).

Сумма углов в развёрнутом угле составляет \( 180^\circ \), следовательно:

\[ \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \]

Для нахождения угла \( ABE \):

\[ \angle ABE = 72^\circ + \frac{x}{2} \]

Теперь найдём угол \( DBC \). Угол \( ABC \) также равен \( x \), и используя свою предыдущую запись, мы должны иметь:

\[ \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \]

То есть:

\[ x + (72^\circ + \frac{x}{2}) = 180^\circ \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x + 72^\circ + \frac{x}{2} = 180^\circ \]

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 2x + 144^\circ + x = 360^\circ \]

Объединим x:

\[ 3x + 144^\circ = 360^\circ \]

Отнимем \( 144^\circ \):

\[ 3x = 216^\circ \]

Теперь поделим на 3:

\[ x = 72^\circ \]

Таким образом, угол \( DBC = 72^\circ \), и угол \( EBD = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \).

Теперь подставим значение \( x \) обратно в уравнение для угла \( ABE \):

\[ \angle ABE = 72^\circ + 36^\circ = 108^\circ \]

Таким образом, угол \( ABE = 108^\circ \).