Из вершины развёрнутого угла  A B C ABC провели лучи  B D BD и  B E BE так, что  B E BE — биссектриса угла  D B C DBC и угол  A B D = 7 2 ∘ ABD=72 ∘ . Найди угол  A B E ABE.

Угол \( ABD = 72^\circ \) — это угол между лучами \( AB \) и \( BD \). Так как \( BE \) является биссектрисой угла \( DBC \), то: \[ \angle ABE = \angle ABD + \angle EBD \] Обозначим угол \( DBC \) через \( x \). Поскольку \( BE \) — биссектрисa, угол \( EBD = \frac{x}{2} \). Сумма углов в развёрнутом угле составляет \( 180^\circ \), следовательно: \[ \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \] Для нахождения угла \( ABE \): \[ \angle ABE = 72^\circ + \frac{x}{2} \] Теперь найдём угол \( DBC \). Угол \( ABC \) также равен \( x \), и используя свою предыдущую запись, мы должны иметь: \[ \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \] То есть: \[ x + (72^\circ + \frac{x}{2}) = 180^\circ \] Теперь решим это уравнение: \[ x + 72^\circ + \frac{x}{2} = 180^\circ \] Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 2x + 144^\circ + x = 360^\circ \] Объединим x: \[ 3x + 144^\circ = 360^\circ \] Отнимем \( 144^\circ \): \[ 3x = 216^\circ \] Теперь поделим на 3: \[ x = 72^\circ \] Таким образом, угол \( DBC = 72^\circ \), и угол \( EBD = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \). Теперь подставим значение \( x \) обратно в уравнение для угла \( ABE \): \[ \angle ABE = 72^\circ + 36^\circ = 108^\circ \] Таким образом, угол \( ABE = 108^\circ \).