Обозначим длины оснований трапеции как ( a ) (меньшее основание) и ( b ) (большее основание), а высоту как ( h ). По условию задачи, эти длины пропорциональны числам 4, 6 и 9, соответственно. Мы можем записать:
[
h = 4k, \quad a = 6k, \quad b = 9k
]
где ( k ) — некоторый коэффициент пропорциональности.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
[
S = \frac{(a + b)h}{2}
]
Подставим выражения для ( a ), ( b ) и ( h ):
[
S = \frac{(6k + 9k)(4k)}{2} = \frac{15k \cdot 4k}{2} = \frac{60k^2}{2} = 30k^2
]
По условию, площадь ( S = 270 ) см²:
[
30k^2 = 270
]
Решим это уравнение:
[
k^2 = \frac{270}{30} = 9 \implies k = 3
]
Теперь можем найти длины оснований:
[
h = 4k = 4 \cdot 3 = 12 , \text{см}
]
[
a = 6k = 6 \cdot 3 = 18 , \text{см}
]
[
b = 9k = 9 \cdot 3 = 27 , \text{см}
]
Таким образом, меньшее основание трапеции ( a = 18 ) см.
Ответ: ( 18 ) см.
