Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ), где ( a ) — это меньшая сторона, а ( b ) — большая сторона. Из условия задачи известно, что:
- ( b = a + 23 ) (одна из сторон больше другой на 23 см)
- Диагональ прямоугольника равна 37 см, что можно выразить через теорему Пифагора: ( a^2 + b^2 = d^2 ), где ( d ) — диагональ.
Подставим значение диагонали:
[
a^2 + b^2 = 37^2
]
Подставим ( b ):
[
a^2 + (a + 23)^2 = 1369
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + (a^2 + 46a + 529) = 1369
]
Сложим подобные:
[
2a^2 + 46a + 529 = 1369
]
Вычтем 1369 из обеих сторон:
[
2a^2 + 46a + 529 - 1369 = 0
]
Упростим уравнение:
[
2a^2 + 46a - 840 = 0
]
Теперь разделим уравнение на 2:
[
a^2 + 23a - 420 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209
]
Вычислим корень дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47
]
Теперь можем найти корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 \pm 47}{2}
]
Найдем два возможных значения ( a ):
- ( a = \frac{24}{2} = 12 )
- ( a = \frac{-70}{2} = -35 ) (это значение не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)
Таким образом, ( a = 12 ) см. Теперь найдем ( b ):
[
b = a + 23 = 12 + 23 = 35 \text{ см}
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см.
