свойство плоскостей перпендикулярных одной прямой доказательство

Чтобы доказать свойство плоскостей, перпендикулярных одной прямой, рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть прямая \( l \) и две плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \), которые обе перпендикулярны этой прямой. Необходимо показать, что если плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) пересекаются, то они пересекаются под углом \( 90^\circ \) (перпендикулярно).

Доказательство:

1. Обозначим пряму \( l \) как векторную величину \( \vec{v} \).

2. Пусть плоскость \( \pi_1 \) задана нормальным вектором \( \vec{n_1} \), а плоскость \( \pi_2 \) — нормальным вектором \( \vec{n_2} \).

3. По определению, плоскость перпендикулярна прямой, если нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой. Это значит, что:

   • \( \vec{n_1} \cdot \vec{v} = 0 \) (плоскость \( \pi_1 \) перпендикулярна прямой \( l \))
   • \( \vec{n_2} \cdot \vec{v} = 0 \) (плоскость \( \pi_2 \) перпендикулярна прямой \( l \))

4. Теперь рассмотрим угол между плоскостями \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \). Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами.

5. Если \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) пересекаются, то их нормальные векторы \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) не будут коллинеарны (не будут направлены в одну сторону).

6. Угол между нормалями \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) можно вычислить по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\|} \]

7. Поскольку каждая из нормалей перпендикулярна вектору \( \vec{v} \) (прямой \( l \)), это означает, что они находятся в одной плоскости, которая перпендикулярна вектору \( \vec{v} \).

8. Таким образом, если переданные углы между нормальными векторами \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) равны \( 90^\circ \) (так как они обе перпендикулярны общему вектору \( \vec{v} \)), то: \[ \theta = 90^\circ \]

Это завершает доказательство.

Следовательно, плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \), перпендикулярные одной прямой, пересекаются под углом \( 90^\circ \).