Свойство плоскостей перпендикулярных одной прямой доказательство

Чтобы доказать свойство плоскостей, перпендикулярных одной прямой, рассмотрим следующую ситуацию: Пусть у нас есть прямая \( l \) и две плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \), которые обе перпендикулярны этой прямой. Необходимо показать, что если плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) пересекаются, то они пересекаются под углом \( 90^\circ \) (перпендикулярно). **Доказательство:** 1. Обозначим пряму \( l \) как векторную величину \( \vec{v} \). 2. Пусть плоскость \( \pi_1 \) задана нормальным вектором \( \vec{n_1} \), а плоскость \( \pi_2 \) — нормальным вектором \( \vec{n_2} \). 3. По определению, плоскость перпендикулярна прямой, если нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой. Это значит, что: - \( \vec{n_1} \cdot \vec{v} = 0 \) (плоскость \( \pi_1 \) перпендикулярна прямой \( l \)) - \( \vec{n_2} \cdot \vec{v} = 0 \) (плоскость \( \pi_2 \) перпендикулярна прямой \( l \)) 4. Теперь рассмотрим угол между плоскостями \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \). Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. 5. Если \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) пересекаются, то их нормальные векторы \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) не будут коллинеарны (не будут направлены в одну сторону). 6. Угол между нормалями \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) можно вычислить по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\|} \] 7. Поскольку каждая из нормалей перпендикулярна вектору \( \vec{v} \) (прямой \( l \)), это означает, что они находятся в одной плоскости, которая перпендикулярна вектору \( \vec{v} \). 8. Таким образом, если переданные углы между нормальными векторами \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \) равны \( 90^\circ \) (так как они обе перпендикулярны общему вектору \( \vec{v} \)), то: \[ \theta = 90^\circ \] Это завершает доказательство. Следовательно, плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \), перпендикулярные одной прямой, пересекаются под углом \( 90^\circ \).