парабола y =3х в квадрате прямая y= 1,5+4,5 вычислить с помощью интеграла

Чтобы вычислить площадь между параболой \( y = 3x^2 \) и прямой \( y = 1.5 + 4.5 = 6 \), нужно сначала найти точки пересечения этих кривых.

Для этого приравняем функции:

\[ 3x^2 = 6 \]

Решим уравнение:

\[ x^2 = \frac{6}{3} = 2 \]

\[ x = \pm \sqrt{2} \]

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в \( x = -\sqrt{2} \) и \( x = \sqrt{2} \).

Далее мы можем вычислить площадь между кривыми, используя определенный интеграл. Площадь \( S \) между кривыми от \( a \) до \( b \) определяется как:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]

где \( f(x) \) — верхняя функция (в данном случае это прямая), а \( g(x) \) — нижняя функция (парабола).

Таким образом, мы можем выразить площадь как:

\[ S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (6 - 3x^2) \, dx \]

Теперь вычислим этот интеграл:

\[ S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 6 \, dx - \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 3x^2 \, dx \]

Первый интеграл:

\[ \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 6 \, dx = 6 \cdot (2\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \]

Второй интеграл:

\[ \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 3x^2 \, dx = 3 \cdot \left( \frac{x^3}{3} \bigg|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \right) = \left[ x^3 \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^3 - (-\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \]

Теперь подставим обратно в формулу для площади:

\[ S = 12\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \]

Таким образом, площадь между параболой \( y = 3x^2 \) и прямой \( y = 6 \) равна \( 8\sqrt{2} \).