Чтобы вычислить площадь между параболой ( y = 3x^2 ) и прямой ( y = 1.5 + 4.5 = 6 ), нужно сначала найти точки пересечения этих кривых.
Для этого приравняем функции:
[
3x^2 = 6
]
Решим уравнение:
[
x^2 = \frac{6}{3} = 2
]
[
x = \pm \sqrt{2}
]
Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в ( x = -\sqrt{2} ) и ( x = \sqrt{2} ).
Далее мы можем вычислить площадь между кривыми, используя определенный интеграл. Площадь ( S ) между кривыми от ( a ) до ( b ) определяется как:
[
S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) , dx
]
где ( f(x) ) — верхняя функция (в данном случае это прямая), а ( g(x) ) — нижняя функция (парабола).
Таким образом, мы можем выразить площадь как:
[
S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (6 - 3x^2) , dx
]
Теперь вычислим этот интеграл:
[
S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 6 , dx - \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 3x^2 , dx
]
Первый интеграл:
[
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 6 , dx = 6 \cdot (2\sqrt{2}) = 12\sqrt{2}
]
Второй интеграл:
[
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 3x^2 , dx = 3 \cdot \left( \frac{x^3}{3} \bigg|{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \right) = \left[ x^3 \right]{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^3 - (-\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}
]
Теперь подставим обратно в формулу для площади:
[
S = 12\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
]
Таким образом, площадь между параболой ( y = 3x^2 ) и прямой ( y = 6 ) равна ( 8\sqrt{2} ).
