Пусть а, b, с и d - четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd - ab кратна 16.

Пусть \( a, b, c, d \) - четыре последовательных нечётных числа. Мы можем записать их в следующем виде:

\[ a = n, \quad b = n + 2, \quad c = n + 4, \quad d = n + 6 \]

где \( n \) - нечётное число.

Теперь найдем выражение для \( cd - ab \):

\[ cd = (n + 4)(n + 6) = n^2 + 10n + 24 \]

\[ ab = n(n + 2) = n^2 + 2n \]

Теперь подставим \( ab \) и \( cd \) в выражение для их разности:

\[ cd - ab = (n^2 + 10n + 24) - (n^2 + 2n) = 10n + 24 - 2n = 8n + 24 \]

Теперь выделим общие множители:

\[ cd - ab = 8(n + 3) \]

Чтобы доказать, что \( 8(n + 3) \) кратно 16, достаточно показать, что \( n + 3 \) - это чётное число, так как 8 умноженное на чётное число будет кратно 16.

Так как \( n \) – нечётное число, то \( n + 3 = (2k + 1) + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \), где \( k \) – целое число. Следовательно, \( n + 3 \) является чётным числом.

Таким образом, мы имеем, что \( 8(n + 3) \) кратно 16:

\[ cd - ab = 8(n + 3) \equiv 0 \pmod{16} \]

Следовательно, разность \( cd - ab \) действительно кратна 16. Это завершает доказательство.