3. Стороны треугольника равны 22м, 30м и 36 м. а) Найти радиус окружности, писанной в этот треугольник. Б) Определить, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является этот…

Для решения задачи начнем с обозначения сторон треугольника:

• a = 22 м
• b = 30 м
• c = 36 м

а) Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус окружности \( R \), описанной вокруг треугольника, можно найти по формуле:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \( S \) — площадь треугольника, которую можно найти по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где \( p \) — полупериметр, который вычисляется как:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{22 + 30 + 36}{2} = 44 \text{ м} \]

Теперь можем вычислить площадь:

\[ S = \sqrt{44(44-22)(44-30)(44-36)} = \sqrt{44 \cdot 22 \cdot 14 \cdot 8} \]

Рассчитываем:

\[ S = \sqrt{44 \cdot 22 \cdot 14 \cdot 8} = \sqrt{44 \cdot 176} = \sqrt{7744} = 88 \text{ м}^2 \]

Теперь подставим значение площади \( S \) в формулу для \( R \):

\[ R = \frac{22 \cdot 30 \cdot 36}{4 \cdot 88} = \frac{7920}{352} = 22.5 \text{ м} \]

б) Определить, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является этот треугольник

Для определения типа треугольника используем неравенство:

• Если \( a^2 + b^2 > c^2 \) — остроугольный,
• Если \( a^2 + b^2 = c^2 \) — прямоугольный,
• Если \( a^2 + b^2 < c^2 \) — тупоугольный.

Расчитаем:

\[ 22^2 + 30^2 = 484 + 900 = 1384 \] \[ 36^2 = 1296 \]

Сравниваем:

\[ 1384 > 1296 \]

Таким образом, треугольник является остроугольным.

в) Найти длину медианы, проведенной к меньшей стороне

Длина медианы \( m_a \), проведенной к стороне \( a \), вычисляется по формуле:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

где \( a = 22 \) м, \( b = 30 \) м, \( c = 36 \) м.

Подставим значения:

\[ m_{22} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 30^2 + 2 \cdot 36^2 - 22^2} \]

Рассчитаем:

\[ m_{22} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 900 + 2 \cdot 1296 - 484} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{1800 + 2592 - 484} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{3988} \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 63.15 \approx 31.58 \text{ м} \]

Таким образом, длина медианы, проведенной к меньшей стороне, составляет примерно 31.58 м.