Для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) можем использовать свойства корней, известные из теоремы Виета. Согласно этой теореме:
- Сумма корней ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
- Произведение корней ( x_1 x_2 = \frac{c}{a} )
Решим каждое из выражений:
- Для выражения ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} ):
[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}
]
Подставляем значения из теоремы Виета:
[
\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c}
]
Таким образом, значение выражения ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{b}{c} ).
- Для выражения ( x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 ):
Сначала заметим, что это выражение можно переписать как:
[
x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)
]
Теперь подставим значения из теоремы Виета:
[
x_1 x_2 (x_1 + x_2) = \frac{c}{a} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{bc}{a^2}
]
Таким образом, значение выражения ( x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = -\frac{bc}{a^2} ).
