Чтобы решить задачу, начнем с формулировки потенциальной и кинетической энергии:
Потенциальная энергия (PE):
[
PE = mgh
]
где (m) — масса камня, (g) — ускорение свободного падения (примерно 9,81 м/с²), (h) — высота.
Кинетическая энергия (KE):
[
KE = \frac{1}{2} mv^2
]
В данном случае, чтобы найти высоту, на которой генетическая энергия (кинетическая) в два раза больше потенциальной энергии, мы можем установить следующее уравнение:
[
KE = 2 \cdot PE
]
Подставим выражения для энергии:
[
\frac{1}{2} mv^2 = 2 \cdot mgh
]
Сокращаем массу (m) (предполагаем, что она не равна нулю):
[
\frac{1}{2} v^2 = 2gh
]
Теперь выражаем скорость (v). По закону сохранения энергии, потенциальная энергия на высоте (h_0 = 15,\text{м}) преобразуется в кинетическую энергию, когда камень падает:
На высоте (h):
[
PE(h) = mg(h_0 - h) \
KE(h) = mg h
]
Для высоты (h):
[
mg h = 2 \cdot mg(h_0 - h)
]
Сокращаем (mg):
[
h = 2(h_0 - h) \
h = 2h_0 - 2h \
3h = 2h_0 \
h = \frac{2h_0}{3}
]
Теперь подставим значение (h_0 = 15,\text{м}):
[
h = \frac{2 \cdot 15,\text{м}}{3} = 10,\text{м}
]
Таким образом, на высоте 10 м кинетическая энергия камня будет в два раза больше его потенциальной энергии.
