в равнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса CK.Угол KAC=70° угол KBC=40°.найдите угол BKC

Для нахождения угла \( BKC \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \) с биссектрисой \( CK \), сначала обозначим недостающие углы.

Из условия:

• угол \( KAC = 70^\circ \)
• угол \( KBC = 40^\circ \)

Поскольку треугольник \( ABC \) равнобедренный, то углы \( CAB \) и \( ABC \) равны:

\[ \angle BAC = \angle ABC = x \]

Угол \( ACB \) можно найти по формуле:

\[ \angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAC = 180^\circ - x - x = 180^\circ - 2x \]

Теперь, учитывая, что \( CK \) – биссектрисa угла \( ACB \), мы можем сказать, что:

\[ \angle ACK = \angle BCK = \frac{1}{2}(180^\circ - 2x) = 90^\circ - x \]

В треугольнике \( AKC \) сумма углов равна 180°:

\[ \angle KAC + \angle ACK + \angle AKC = 180^\circ \]

Подставим известные значения:

\[ 70^\circ + (90^\circ - x) + \angle AKC = 180^\circ \]

Отсюда находим угол \( AKC \):

\[ \angle AKC = 180^\circ - 70^\circ - 90^\circ + x \]

\[ \angle AKC = 20^\circ + x \]

Теперь рассмотрим треугольник \( BKC \). Сумма его углов также равна 180°, и у нас есть \( KBC \):

\[ \angle KBC + \angle BKC + \angle BKC = 180^\circ \]

Подставим известные углы:

\[ 40^\circ + \angle BKC + (90^\circ - x) = 180^\circ \]

\[ \angle BKC = 180^\circ - 40^\circ - (90^\circ - x) \]

Упрощаем:

\[ \angle BKC = 50^\circ + x \]

Теперь подставим \( x \). У нас есть два уравнения для \( x \):

\[ 70^\circ + x + (90^\circ - x) = 180^\circ \]

Таким образом, мы можем найти значение \( x \).

Решим это уравнение для нахождения \( x \):

\[ 70^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Из этого следует, что \( x = 70 - 40 = 30^\circ \).

Теперь подставим обратно \( x \) в угол \( BKC \):

\[ \angle BKC = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ \]

Таким образом, угол \( BKC \) равен \( 80^\circ \).