Найдите все корни уравнения (x ^ 2 - 8x)(x ^ 2 - 8x - 6) = 280
Давайте рассмотрим уравнение:
\((x^2 - 8x)(x^2 - 8x - 6) = 280\).
Сначала обозначим \(y = x^2 - 8x\). Тогда уравнение можно переписать как:
\(y(y - 6) = 280\).
Раскроем скобки:
\(y^2 - 6y - 280 = 0\).
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\(D = b^2 - 4ac\),
где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -280\).
Подставим значения:
\(D = (-6)^2 - 4(1)(-280) = 36 + 1120 = 1156\).
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{1156}}{2}\).
Так как \(\sqrt{1156} = 34\), подставим значение:
\(y_1 = \frac{6 + 34}{2} = \frac{40}{2} = 20\),
\(y_2 = \frac{6 - 34}{2} = \frac{-28}{2} = -14\).
Теперь у нас есть два значения \(y\):
- \(y_1 = 20\),
- \(y_2 = -14\).
Теперь вернемся к переменной \(x\):
Для \(y_1 = 20\): \[ x^2 - 8x = 20 \\ x^2 - 8x - 20 = 0. \] Найдем дискриминант: \[ D_1 = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144. \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}. \] Следовательно, \(x_1 = \frac{20}{2} = 10\) и \(x_2 = \frac{-4}{2} = -2\).
Для \(y_2 = -14\): \[ x^2 - 8x = -14 \\ x^2 - 8x + 14 = 0. \] Найдем дискриминант: \[ D_2 = (-8)^2 - 4(1)(14) = 64 - 56 = 8. \] Корни: \[ x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}. \]
Таким образом, все корни уравнения:
\(x_1 = 10\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 4 + \sqrt{2}\), \(x_4 = 4 - \sqrt{2}\).
