Давайте рассмотрим уравнение:
((x^2 - 8x)(x^2 - 8x - 6) = 280).
Сначала обозначим (y = x^2 - 8x). Тогда уравнение можно переписать как:
(y(y - 6) = 280).
Раскроем скобки:
(y^2 - 6y - 280 = 0).
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:
(D = b^2 - 4ac),
где (a = 1), (b = -6), (c = -280).
Подставим значения:
(D = (-6)^2 - 4(1)(-280) = 36 + 1120 = 1156).
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:
(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{1156}}{2}).
Так как (\sqrt{1156} = 34), подставим значение:
(y_1 = \frac{6 + 34}{2} = \frac{40}{2} = 20),
(y_2 = \frac{6 - 34}{2} = \frac{-28}{2} = -14).
Теперь у нас есть два значения (y):
- (y_1 = 20),
- (y_2 = -14).
Теперь вернемся к переменной (x):
Для (y_1 = 20):
[
x^2 - 8x = 20 \
x^2 - 8x - 20 = 0.
]
Найдем дискриминант:
[
D_1 = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144.
]
Корни:
[
x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}.
]
Следовательно, (x_1 = \frac{20}{2} = 10) и (x_2 = \frac{-4}{2} = -2).
Для (y_2 = -14):
[
x^2 - 8x = -14 \
x^2 - 8x + 14 = 0.
]
Найдем дискриминант:
[
D_2 = (-8)^2 - 4(1)(14) = 64 - 56 = 8.
]
Корни:
[
x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}.
]
Таким образом, все корни уравнения:
(x_1 = 10),
(x_2 = -2),
(x_3 = 4 + \sqrt{2}),
(x_4 = 4 - \sqrt{2}).
