ABCDa1b1c1d1 куб найдите угол между прямой cc1 и плоскостью ab1c1 решить эту задачу с помощью теоремы :"угол между прямой и плоскости"

Чтобы найти угол между прямой \( CC_1 \) и плоскостью \( AB_1C_1 \), используем теорему "угол между прямой и плоскостью".

Для этого нужно:

1. Найти нормаль к плоскости \( AB_1C_1 \).
2. Определить вектор прямой \( CC_1 \).
3. Найти угол между вектором прямой и нормалью к плоскости с помощью скалярного произведения.

Шаги решения:

1. Определи точки куба: Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( A_1(0, 0, 1) \), \( B_1(1, 0, 1) \), \( C_1(1, 1, 1) \), \( D_1(0, 1, 1) \).

2. Нормаль к плоскости \( AB_1C_1 \): Векторы \( AB_1 \) и \( AC_1 \):

   • \( \vec{AB_1} = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1) \)
   • \( \vec{AC_1} = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1) \)

   Нормаль к плоскости \( AB_1C_1 \): \[ \vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 - 1)\hat{i} - (1 - 1)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = (-1, 0, 1) \]

3. Вектор прямой \( CC_1 \): \[ \vec{CC_1} = C_1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1) \]

4. Найдем угол \( \theta \) между \( \vec{CC_1} \) и \( \vec{n} \): Используем формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{CC_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{CC_1}| \cdot |\vec{n}|} \] Скалярное произведение: \[ \vec{CC_1} \cdot \vec{n} = (0, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 \] Длину векторов: \[ |\vec{CC_1}| = 1, \quad |\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ \]

Ответ:

Угол между прямой \( CC_1 \) и плоскостью \( AB_1C_1 \) равен \( 45^\circ\).