ABCDa1b1c1d1 куб найдите угол между прямой cc1 и плоскостью ab1c1 решить эту задачу с помощью теоремы :"угол между прямой и плоскости"
Чтобы найти угол между прямой \( CC_1 \) и плоскостью \( AB_1C_1 \), используем теорему "угол между прямой и плоскостью".
Для этого нужно:
1. Найти нормаль к плоскости \( AB_1C_1 \).
2. Определить вектор прямой \( CC_1 \).
3. Найти угол между вектором прямой и нормалью к плоскости с помощью скалярного произведения.
### Шаги решения:
1. **Определи точки куба:**
Пусть \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( A_1(0, 0, 1) \), \( B_1(1, 0, 1) \), \( C_1(1, 1, 1) \), \( D_1(0, 1, 1) \).
2. **Нормаль к плоскости \( AB_1C_1 \)**:
Векторы \( AB_1 \) и \( AC_1 \):
- \( \vec{AB_1} = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1) \)
- \( \vec{AC_1} = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1) \)
Нормаль к плоскости \( AB_1C_1 \):
\[
\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix} = (0 - 1)\hat{i} - (1 - 1)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = (-1, 0, 1)
\]
3. **Вектор прямой \( CC_1 \)**:
\[
\vec{CC_1} = C_1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1)
\]
4. **Найдем угол \( \theta \) между \( \vec{CC_1} \) и \( \vec{n} \)**:
Используем формулу для косинуса угла:
\[
\cos \theta = \frac{|\vec{CC_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{CC_1}| \cdot |\vec{n}|}
\]
Скалярное произведение:
\[
\vec{CC_1} \cdot \vec{n} = (0, 0, 1) \cdot (-1, 0, 1) = 1
\]
Длину векторов:
\[
|\vec{CC_1}| = 1, \quad |\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Подставляем в формулу:
\[
\cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ
\]
### Ответ:
Угол между прямой \( CC_1 \) и плоскостью \( AB_1C_1 \) равен \( 45^\circ\).
