решите квадратные уравнения а) (6+2√5)x²-15x-(6-2√5)=0; б) -x²+(1-√7)x+2+0,5√7=0;
Давайте решим оба квадратных уравнения.
а) Уравнение имеет вид \((6+2\sqrt{5})x^2 - 15x - (6-2\sqrt{5}) = 0\).
Запишем коэффициенты:
- \(a = 6 + 2\sqrt{5}\)
- \(b = -15\)
- \(c = -(6 - 2\sqrt{5}) = -6 + 2\sqrt{5}\)
Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(6 + 2\sqrt{5})(-6 + 2\sqrt{5}) \] \[ D = 225 - 4(6 + 2\sqrt{5})(-6 + 2\sqrt{5}) \]
Посчитаем произведение: \[ (6 + 2\sqrt{5})(-6 + 2\sqrt{5}) = -36 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} + 20 = -36 + 20 = -16 \]
Теперь подставим: \[ D = 225 - 4(-16) = 225 + 64 = 289 \]
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2(6 + 2\sqrt{5})} \] \[ x_{1,2} = \frac{15 \pm 17}{2(6 + 2\sqrt{5})} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{32}{2(6 + 2\sqrt{5})}, \quad x_2 = \frac{-2}{2(6 + 2\sqrt{5})} \] Упростим: \[ x_1 = \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}}, \quad x_2 = \frac{-1}{6 + 2\sqrt{5}} \]
б) Уравнение имеет вид \(-x^2 + (1 - \sqrt{7})x + (2 + 0.5\sqrt{7}) = 0\).
Записываем коэффициенты:
- \(a = -1\)
- \(b = 1 - \sqrt{7}\)
- \(c = 2 + 0.5\sqrt{7}\)
Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (1 - \sqrt{7})^2 - 4(-1)(2 + 0.5\sqrt{7}) \] \[ D = (1 - 2\sqrt{7} + 7) + 8 + 2\sqrt{7} = 8 - 2\sqrt{7} + 8 = 16 - 2\sqrt{7} \]
Чтобы упростить расчет, нужно убедиться, что \(D \geq 0\). Если нет, то уравнение не имеет действительных корней.
Предположим, \(D \geq 0\): \[ D \geq 0 \Rightarrow 16 \geq 2\sqrt{7} \Rightarrow 8 \geq \sqrt{7} \Rightarrow 64 \geq 7 \text{ (это верно)}. \] Таким образом, корни уравнения есть. Находим их: \[ x_{1,2} = \frac{-(1 - \sqrt{7}) \pm \sqrt{D}}{2(-1)} = \frac{\sqrt{7} - 1 \mp \sqrt{16 - 2\sqrt{7}}}{2}. \]
Таким образом, окончательные корни: а) \(x_1 = \frac{16}{6 + 2\sqrt{5}}, \quad x_2 = \frac{-1}{6 + 2\sqrt{5}}\) б) \(x_{1,2} = \frac{\sqrt{7} - 1 \pm \sqrt{16 - 2\sqrt{7}}}{2}\)
