Давайте обозначим скорость велосипедиста за ( v ) км/ч. Тогда скорость автомобилиста будет ( v + 40 ) км/ч.
Пусть ( t ) – время, которое в пути провел автомобилист. Тогда велосипедист, прибывший на 3 часа позже, будет в пути ( t + 3 ) часа.
Общая формула расстояния будет:
[
\text{Расстояние} = \text{Скорость} \times \text{Время}
]
Для автомобилиста:
[
90 = (v + 40) t
]
Для велосипедиста:
[
90 = v (t + 3)
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( 90 = (v + 40) t ) (1)
- ( 90 = v (t + 3) ) (2)
Из уравнения (1) выразим ( t ):
[
t = \frac{90}{v + 40}
]
Подставим это значение ( t ) в уравнение (2):
[
90 = v \left(\frac{90}{v + 40} + 3\right)
]
Упростим уравнение:
[
90 = v \left(\frac{90 + 3(v + 40)}{v + 40}\right)
]
[
90 = v \left(\frac{90 + 3v + 120}{v + 40}\right)
]
[
90 = v \left(\frac{3v + 210}{v + 40}\right)
]
Умножим обе стороны на ( v + 40 ):
[
90(v + 40) = v(3v + 210)
]
[
90v + 3600 = 3v^2 + 210v
]
[
0 = 3v^2 + 210v - 90v - 3600
]
[
0 = 3v^2 + 120v - 3600
]
Разделим на 3:
[
0 = v^2 + 40v - 1200
]
Решим это квадратное уравнение по формуле:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200)}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 4800}}{2}
]
[
= \frac{-40 \pm \sqrt{6400}}{2} = \frac{-40 \pm 80}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для ( v ):
- ( v = \frac{-40 + 80}{2} = 20 ) км/ч
- ( v = \frac{-40 - 80}{2} = -60 ) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте)
Таким образом, скорость велосипедиста составляет 20 км/ч. Теперь найдем скорость автомобилиста:
[
v + 40 = 20 + 40 = 60 \text{ км/ч}.
]
Таким образом, скорости:
- Велосипедист: 20 км/ч
- Автомобилист: 60 км/ч.
