№1 Дано: А(-5; 6), В(3; -2), С(0; 1) Найти: 1)Координаты векторов АС и СВ 2)Найди длины векторов АС и СВ 3)Найти скалярное произведение векторов АС и СВ 4)Найти косинус угла АСВ
Для решения данной задачи будем использовать основные свойства векторов в двумерной геометрии.
1) Координаты векторов AC и CB
Вектор AC: \[ \vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (0 - (-5), 1 - 6) = (5, -5) \]
Вектор CB: \[ \vec{CB} = B - C = (x_B - x_C, y_B - y_C) = (3 - 0, -2 - 1) = (3, -3) \]
Таким образом, координаты векторов:
- \(\vec{AC} = (5, -5)\)
- \(\vec{CB} = (3, -3)\)
2) Длины векторов AC и CB
Длину вектора можно найти по формуле: \[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Длина вектора AC: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
Длина вектора CB: \[ |\vec{CB}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
3) Скалярное произведение векторов AC и CB
Скалярное произведение векторов \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) и \(\vec{v} = (v_1, v_2)\) определяется как: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]
Следовательно, для векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{CB}\): \[ \vec{AC} \cdot \vec{CB} = (5) \cdot (3) + (-5) \cdot (-3) = 15 + 15 = 30 \]
4) Косинус угла ACB
Косинус угла между двумя векторами можно найти с использованием формулы: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
Где \(\vec{u} = \vec{AC}\) и \(\vec{v} = \vec{CB}\).
Подставим значения: \[ \cos \theta = \frac{30}{(5\sqrt{2})(3\sqrt{2})} = \frac{30}{15 \cdot 2} = \frac{30}{30} = 1 \]
Таким образом, результаты:
- Векторы:
- \(\vec{AC} = (5, -5)\)
- \(\vec{CB} = (3, -3)\)
- Длины:
- \( |\vec{AC}| = 5\sqrt{2} \)
- \( |\vec{CB}| = 3\sqrt{2} \)
- Скалярное произведение:
- \( \vec{AC} \cdot \vec{CB} = 30 \)
- Косинус угла ACB:
- \( \cos \theta = 1 \) (что соответствует углу 0º, т.е. векторы направлены в одном и том же направлении).
