Для решения данной задачи будем использовать основные свойства векторов в двумерной геометрии.
1) Координаты векторов AC и CB
Вектор AC:
[
\vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (0 - (-5), 1 - 6) = (5, -5)
]
Вектор CB:
[
\vec{CB} = B - C = (x_B - x_C, y_B - y_C) = (3 - 0, -2 - 1) = (3, -3)
]
Таким образом, координаты векторов:
- (\vec{AC} = (5, -5))
- (\vec{CB} = (3, -3))
2) Длины векторов AC и CB
Длину вектора можно найти по формуле:
[
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Длина вектора AC:
[
|\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]
Длина вектора CB:
[
|\vec{CB}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
]
3) Скалярное произведение векторов AC и CB
Скалярное произведение векторов (\vec{u} = (u_1, u_2)) и (\vec{v} = (v_1, v_2)) определяется как:
[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2
]
Следовательно, для векторов (\vec{AC}) и (\vec{CB}):
[
\vec{AC} \cdot \vec{CB} = (5) \cdot (3) + (-5) \cdot (-3) = 15 + 15 = 30
]
4) Косинус угла ACB
Косинус угла между двумя векторами можно найти с использованием формулы:
[
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
]
Где (\vec{u} = \vec{AC}) и (\vec{v} = \vec{CB}).
Подставим значения:
[
\cos \theta = \frac{30}{(5\sqrt{2})(3\sqrt{2})} = \frac{30}{15 \cdot 2} = \frac{30}{30} = 1
]
Таким образом, результаты:
- Векторы:
- (\vec{AC} = (5, -5))
- (\vec{CB} = (3, -3))
- Длины:
- ( |\vec{AC}| = 5\sqrt{2} )
- ( |\vec{CB}| = 3\sqrt{2} )
- Скалярное произведение:
- ( \vec{AC} \cdot \vec{CB} = 30 )
- Косинус угла ACB:
- ( \cos \theta = 1 ) (что соответствует углу 0º, т.е. векторы направлены в одном и том же направлении).
