На рисунке KP || DF Докажите , что DE • EP = FE • EK Найдите KP , если DK = 12 см , EK = 16 см , DF = 42 см
Для доказательства равенства \( DE \cdot EP = FE \cdot EK \) и нахождения \( KP \), можно воспользоваться свойствами подобия треугольников и средней линии.
Доказательство равенства:
Т.к. \( KP \parallel DF \), то \( \triangle DEK \sim \triangle PEF \) (по признаку подобия треугольников — соответствующие углы равны).
Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:
\[ \frac{DE}{FE} = \frac{EK}{EP} \]
Из этого равенства следует, что:
\[ DE \cdot EP = FE \cdot EK \]
Нахождение длины \( KP \):
Поскольку \( KP \parallel DF \), \( KP \) является средней линией треугольника \( \triangle DEF \). По свойству средней линии в треугольнике:
\[ KP = \frac{DF}{2} \]
Подставляя значение \( DF = 42 \, \text{см} \):
\[ KP = \frac{42}{2} = 21 \, \text{см} \]
Таким образом, \( KP = 21 \, \text{см} \).
