На рисунке KP || DF Докажите , что DE • EP = FE • EK Найдите KP , если DK = 12 см , EK = 16 см , DF = 42 см

Для доказательства равенства \( DE \cdot EP = FE \cdot EK \) и нахождения \( KP \), можно воспользоваться свойствами подобия треугольников и средней линии. 1. **Доказательство равенства:** Т.к. \( KP \parallel DF \), то \( \triangle DEK \sim \triangle PEF \) (по признаку подобия треугольников — соответствующие углы равны). Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон: \[ \frac{DE}{FE} = \frac{EK}{EP} \] Из этого равенства следует, что: \[ DE \cdot EP = FE \cdot EK \] 2. **Нахождение длины \( KP \):** Поскольку \( KP \parallel DF \), \( KP \) является средней линией треугольника \( \triangle DEF \). По свойству средней линии в треугольнике: \[ KP = \frac{DF}{2} \] Подставляя значение \( DF = 42 \, \text{см} \): \[ KP = \frac{42}{2} = 21 \, \text{см} \] Таким образом, \( KP = 21 \, \text{см} \).