диагональ прямоугольника на 4 см больше одной из его сторон и на 2 см больше другой. найдите стороны прямоугольника
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Согласно условию задачи, диагональ прямоугольника \( d \) можно выразить через стороны:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
По условию, диагональ на 4 см больше одной из сторон и на 2 см больше другой. Пусть \( d = a + 4 \) и \( d = b + 2 \).
Таким образом, мы можем записать два уравнения:
- \( \sqrt{a^2 + b^2} = a + 4 \)
- \( \sqrt{a^2 + b^2} = b + 2 \)
Теперь приравняем эти два выражения для диагонали:
\[ a + 4 = b + 2 \]
Отсюда получаем:
\[ a - b = -2 \quad \text{или} \quad a = b - 2 \]
Теперь подставим \( a = b - 2 \) в любое из уравнений для диагонали. Подставим в первое:
\[ \sqrt{(b - 2)^2 + b^2} = (b - 2) + 4 \]
Упрощаем:
\[ \sqrt{(b - 2)^2 + b^2} = b + 2 \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ (b - 2)^2 + b^2 = (b + 2)^2 \]
Раскрываем скобки:
\[ (b^2 - 4b + 4) + b^2 = (b^2 + 4b + 4) \]
Упрощаем уравнение:
\[ 2b^2 - 4b + 4 = b^2 + 4b + 4 \]
Приведем подобные:
\[ 2b^2 - 4b + 4 - b^2 - 4b - 4 = 0 \] \[ b^2 - 8b = 0 \]
Вынесем \( b \) за скобки:
\[ b(b - 8) = 0 \]
Получаем два решения: \( b = 0 \) или \( b = 8 \). Решение \( b = 0 \) не имеет смысла, поэтому \( b = 8 \).
Теперь, подставив значение \( b \) в уравнение \( a = b - 2 \):
\[ a = 8 - 2 = 6 \]
Таким образом, стороны прямоугольника равны: \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см.
