Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). Согласно условию задачи, диагональ прямоугольника ( d ) можно выразить через стороны:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
По условию, диагональ на 4 см больше одной из сторон и на 2 см больше другой. Пусть ( d = a + 4 ) и ( d = b + 2 ).
Таким образом, мы можем записать два уравнения:
- ( \sqrt{a^2 + b^2} = a + 4 )
- ( \sqrt{a^2 + b^2} = b + 2 )
Теперь приравняем эти два выражения для диагонали:
[
a + 4 = b + 2
]
Отсюда получаем:
[
a - b = -2 \quad \text{или} \quad a = b - 2
]
Теперь подставим ( a = b - 2 ) в любое из уравнений для диагонали. Подставим в первое:
[
\sqrt{(b - 2)^2 + b^2} = (b - 2) + 4
]
Упрощаем:
[
\sqrt{(b - 2)^2 + b^2} = b + 2
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
(b - 2)^2 + b^2 = (b + 2)^2
]
Раскрываем скобки:
[
(b^2 - 4b + 4) + b^2 = (b^2 + 4b + 4)
]
Упрощаем уравнение:
[
2b^2 - 4b + 4 = b^2 + 4b + 4
]
Приведем подобные:
[
2b^2 - 4b + 4 - b^2 - 4b - 4 = 0
]
[
b^2 - 8b = 0
]
Вынесем ( b ) за скобки:
[
b(b - 8) = 0
]
Получаем два решения: ( b = 0 ) или ( b = 8 ). Решение ( b = 0 ) не имеет смысла, поэтому ( b = 8 ).
Теперь, подставив значение ( b ) в уравнение ( a = b - 2 ):
[
a = 8 - 2 = 6
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны: ( a = 6 ) см и ( b = 8 ) см.
