сколькими способами можно расставить две белые и две чёрные ладьи на шахматной доске так, чтобы ладьи разного цвета не били друг дру, но ладьи одинаково цвета могли бить друг-друга
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с ограничениями. Ладьи могут бить друг друга, если находятся на одной линии (линии или столбце). Однако в данной задаче ладьи разного цвета не должны бить друг друга, а ладьи одного цвета могут.
Шаг 1: Расстановка белых ладей
Для начала расставим две белые ладьи. Их можно расставить в любых двух из 64 клеток шахматной доски, но так, чтобы они находились в разных строках и столбцах.
- Выбираем 2 строки из 8. Это можно сделать \( \binom{8}{2} \) способами.
- Выбираем 2 столбца из 8. Это также можно сделать \( \binom{8}{2} \) способами.
- Затем мы можем разместить две белые ладьи в выбранных строках и столбцах. Существует \( 2! = 2 \) способа расположить их в выделенных клетках.
Итак, количество способов расстановки белых ладей: \[ \text{Способы размещения белых ладей} = \binom{8}{2} \times \binom{8}{2} \times 2 \] \[ = 28 \times 28 \times 2 = 1568 \]
Шаг 2: Расстановка чёрных ладей
Теперь перейдем к расстановке двух черных ладей. Черные ладьи не могут находиться в одной строке или столбце с белыми ладьями, но могут бить друг друга.
- После размещения белых ладей, на доске останется 6 строк и 6 столбцов.
- Выбираем 2 строки из оставшихся 6. Это можно сделать \( \binom{6}{2} \) способами.
- Выбираем 2 столбца из оставшихся 6. Это также может быть выполнено \( \binom{6}{2} \) способами.
- Существует \( 2! = 2 \) способа расположить черные ладьи в выделенных клетках.
Количество способов расстановки черных ладей: \[ \text{Способы размещения черных ладей} = \binom{6}{2} \times \binom{6}{2} \times 2 \] \[ = 15 \times 15 \times 2 = 450 \]
Общий итог
Поэтому общее количество способов расстановки двух белых и двух черных ладей, таким образом, составит: \[ \text{Общее количество способов} = 1568 \times 450 = 705600 \]
Таким образом, ответ: 705600 способов.
