178. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, B,C,D, AB = 4, СС, = 3, ВС = 5V3. Найдите угол между прямыми АВ И Д,С.

Для нахождения угла между прямыми \(AB\) и \(DC\) в прямоугольном параллелепипеде \(ABCD\) сначала определим координаты его вершин.

Пусть:

• \(A (0, 0, 0)\)
• \(B (4, 0, 0)\)
• \(C (4, 3, 0)\)
• \(D (0, 3, 0)\)
• \(A' (0, 0, 5\sqrt{3})\)
• \(B' (4, 0, 5\sqrt{3})\)
• \(C' (4, 3, 5\sqrt{3})\)
• \(D' (0, 3, 5\sqrt{3})\)

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым \(AB\) и \(DC\):

• Вектор \(AB = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0)\)
• Вектор \(DC = C - D = (4, 3, 0) - (0, 3, 0) = (4, 0, 0)\)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|} \]

Где:

• \(A \cdot B\) - скалярное произведение векторов,
• \(|A|\) и \(|B|\) - длины векторов.

Однако для \(DC\) имеется дополнительный компонент в высоту параллелепипеда. Из-за этого, прямые будут направлены в разные стороны:

Например, вектор \(DC\) из точки D (0, 3, 0) по вертикали на высоту 5√3: \(DC = D' - D = (0, 3, 5\sqrt{3}) - (0, 3, 0) = (0, 0, 5\sqrt{3})\)

Теперь у нас есть:

• Вектор \(AB = (4, 0, 0)\)
• Вектор \(DC = (0, 0, 5\sqrt{3})\)

Теперь можем найти угол между ними на примере скалярного произведения: \[ A \cdot B = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (5\sqrt{3}) = 0 \] Длину векторов: \[ |AB| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = 4 \] \[ |DC| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (5\sqrt{3})^2} = 5\sqrt{3} \]

Подставим в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{0}{4 \cdot 5\sqrt{3}} = 0 \] Это говорит о том, что угол между данными векторами \( \theta = 90^{\circ} \).

Таким образом, угол между прямыми \(AB\) и \(DC\) равен \(90^{\circ}\).