решите графически систему уравнений y=x2-4x 2x-y=8
Чтобы решить графически систему уравнений
- \( y = x^2 - 4x \)
- \( 2x - y = 8 \)
начнем с того, чтобы построить графики обеих функций.
Первое уравнение: \( y = x^2 - 4x \)
Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Мы можем переписать его в стандартной форме, выделив полный квадрат:
- \( y = x^2 - 4x \)
- \( y = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 \)
Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -4).
Второе уравнение: \( 2x - y = 8 \)
Это линейное уравнение, которое можно переписать в виде \( y = 2x - 8 \).
Построение графиков:
- Парабола \( y = (x - 2)^2 - 4 \) имеет вершину в точке (2, -4) и проходит через точки, такие как (0, 0) и (4, 0).
- Линия \( y = 2x - 8 \) имеет наклон 2 и пересекает ось \( y \) в точке (0, -8).
Пересечение графиков:
Чтобы найти решения графически, нужно пересечь графики этих двух функций. Мы можем использовать числовые значения, чтобы найти точки пересечения:
Решим систему:
- Подставим \( y = 2x - 8 \) в параболу:
\[ 2x - 8 = x^2 - 4x \]
- Приведем уравнение к общему виду:
\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]
- Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
- Найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2}{2} = \{4, 2\} \]
- Теперь найдем соответствующие \( y \):
- Если \( x = 4 \): \( y = 2 \cdot 4 - 8 = 0 \)
- Если \( x = 2 \): \( y = 2 \cdot 2 - 8 = -4 \)
Таким образом, мы нашли две точки пересечения:
- \( (4, 0) \)
- \( (2, -4) \)
Графически это будет представлять параболу и прямую, которые пересекаются в указанных точках.
