Докажите тождество sin^6a + cos^6a + 3sin^2a ×cos^2a=1

Для доказательства тождества \( \sin^6 a + \cos^6 a + 3\sin^2 a \cos^2 a = 1 \) начнем с разбиения левой части на известные формулы.

Обозначим \( x = \sin^2 a \) и \( y = \cos^2 a \). Тогда для \( x \) и \( y \) выполнено:

\[ x + y = 1 \]

Теперь рассматриваем \( \sin^6 a + \cos^6 a \):

\[ \sin^6 a + \cos^6 a = x^3 + y^3 \]

Можно воспользоваться формулой для суммы кубов:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Так как \( x + y = 1 \), получаем:

\[ x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2) = x^2 - xy + y^2 \]

Известно, что:

\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 1 - 2xy \]

Таким образом:

\[ x^3 + y^3 = (1 - 2xy) - xy = 1 - 3xy \]

Теперь подставим это в первое выражение:

\[ \sin^6 a + \cos^6 a + 3\sin^2 a \cos^2 a = (1 - 3xy) + 3xy \]

Сократим:

\[ = 1 - 3xy + 3xy = 1 \]

Теперь мы видим, что левая часть равенства равна 1, что и требовалось доказать.

Таким образом, тождество:

\[ \sin^6 a + \cos^6 a + 3\sin^2 a \cos^2 a = 1 \]

доказано.