Для доказательства тождества ( \sin^6 a + \cos^6 a + 3\sin^2 a \cos^2 a = 1 ) начнем с разбиения левой части на известные формулы.
Обозначим ( x = \sin^2 a ) и ( y = \cos^2 a ). Тогда для ( x ) и ( y ) выполнено:
[
x + y = 1
]
Теперь рассматриваем ( \sin^6 a + \cos^6 a ):
[
\sin^6 a + \cos^6 a = x^3 + y^3
]
Можно воспользоваться формулой для суммы кубов:
[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
]
Так как ( x + y = 1 ), получаем:
[
x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2) = x^2 - xy + y^2
]
Известно, что:
[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 1 - 2xy
]
Таким образом:
[
x^3 + y^3 = (1 - 2xy) - xy = 1 - 3xy
]
Теперь подставим это в первое выражение:
[
\sin^6 a + \cos^6 a + 3\sin^2 a \cos^2 a = (1 - 3xy) + 3xy
]
Сократим:
[
= 1 - 3xy + 3xy = 1
]
Теперь мы видим, что левая часть равенства равна 1, что и требовалось доказать.
Таким образом, тождество:
[
\sin^6 a + \cos^6 a + 3\sin^2 a \cos^2 a = 1
]
доказано.
