В Международном турнире по робототехнике «РобоОлимп» в финал вышли десять команд, которые участвуют за победу в турнире, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две…
В Международном турнире по робототехнике «РобоОлимп» в финал вышли десять команд, которые участвуют за победу в турнире, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места, не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать только положение первых трёх и последних двух команд.
Чтобы решить задачу, необходимо рассмотреть, сколько разных вариантов можно получить для первых трех и последних двух мест среди десяти команд.
Выбор первых трех мест: Мы выбираем 3 команды из 10, чтобы занять 1-е, 2-е и 3-е места. Поскольку порядок важен, это задача на перестановки.
Количество способов выбрать и расположить 3 команды из 10 можно вычислить по формуле перестановок: \[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Здесь \( n = 10 \) (общее количество команд), \( k = 3 \) (количество мест).
Подставляем значения: \[ P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720 \]
Выбор последних двух мест: Теперь нам нужно выбрать 2 команды из оставшихся 7 команд (так как 3 уже заняли призовые места). Порядок также важен, и мы опять используем формулу перестановок.
Количество способов выбрать и расположить 2 команды из 7: \[ P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \]
Общее количество вариантов результата: Теперь, чтобы найти общее количество различных вариантов результата турнира, мы перемножаем количество способов для первых трех и последних двух мест: \[ Н = P(10, 3) \times P(7, 2) = 720 \times 42 = 30240 \]
Таким образом, общее количество различных вариантов результата первенства составляет 30240.
