Сократите 100^n/ 5^2n-1 × 4^n-1

Чтобы упростить выражение \( \frac{100^n}{5^{2n-1} \times 4^{n-1}} \), давайте начнем с разложения каждого компонента. Сначала распишем \( 100^n \): \[ 100^n = (10^2)^n = 10^{2n} = (2 \times 5)^{2n} = 2^{2n} \times 5^{2n} \] Теперь распишем \( 5^{2n-1} \) и \( 4^{n-1} \): \[ 5^{2n-1} = 5^{2n} \times 5^{-1} = 5^{2n} \times \frac{1}{5} \] \[ 4^{n-1} = (2^2)^{n-1} = 2^{2(n-1)} = 2^{2n - 2} \] Теперь подставим эти разложения в исходное выражение: \[ \frac{100^n}{5^{2n-1} \times 4^{n-1}} = \frac{2^{2n} \times 5^{2n}}{5^{2n} \times \frac{1}{5} \times 2^{2n-2}} \] Сократим \( 5^{2n} \) в числителе и знаменателе: \[ = \frac{2^{2n}}{\frac{1}{5} \times 2^{2n-2}} = \frac{2^{2n}}{2^{2n-2}} \times 5 = 2^{2n - (2n - 2)} \times 5 = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20 \] Таким образом, конечный результат упрощения: \[ \frac{100^n}{5^{2n-1} \times 4^{n-1}} = 20 \]