Дан куб ABCDA1B1C1D1 .Чему равен угол между плоскостями ABCD и CDA1B1? а) 30° б) 45 в) 60° г) 90°

Чтобы найти угол между плоскостями ABCD и CDA1B1, нужно использовать векторы нормалей этих плоскостей.

1. Плоскость ABCD: Векторы, лежащие в этой плоскости, можно взять, например, векторы AB и AD.

   • AB = B - A
   • AD = D - A Для простоты, возьмём куб со стороной 1:
   • A(0, 0, 0)
   • B(1, 0, 0)
   • D(0, 1, 0) Тогда:
   • AB = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
   • AD = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0) Вектор нормали плоскости ABCD можно найти с помощью векторного произведения: \[ n_1 = AB \times AD = (1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1) \]

2. Плоскость CDA1B1: Векторы, лежащие в этой плоскости, можно взять, например, векторы CD и CA1.

   • CD = D - C
   • CA1 = A1 - C Точки:
   • C(1, 1, 0)
   • D(0, 1, 0)
   • A1(0, 0, 1) Тогда:
   • CD = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0)
   • CA1 = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1) Вектор нормали плоскости CDA1B1: \[ n_2 = CD \times CA1 = (-1, 0, 0) \times (-1, -1, 1) = (0, 1, 1) \]

3. Теперь найдем угол между нормалями. Используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1| |n_2|} \] Векторы:

• \( n_1 = (0, 0, 1) \)
• \( n_2 = (0, 1, 1) \)

Скалярное произведение: \[ n_1 \cdot n_2 = (0, 0, 1) \cdot (0, 1, 1) = 0 + 0 + 1 = 1 \]

Модули векторов: \[ |n_1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ |n_2| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Теперь подставим все в формулу: \[ \cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Таким образом, \[ \theta = 45° \]

Ответ: б) 45°.