Дан куб ABCDA1B1C1D1 .Чему равен угол между плоскостями ABCD и CDA1B1?
а) 30° б) 45 в) 60° г) 90°
Чтобы найти угол между плоскостями ABCD и CDA1B1, нужно использовать векторы нормалей этих плоскостей.
1. **Плоскость ABCD**: Векторы, лежащие в этой плоскости, можно взять, например, векторы AB и AD.
- AB = B - A
- AD = D - A
Для простоты, возьмём куб со стороной 1:
- A(0, 0, 0)
- B(1, 0, 0)
- D(0, 1, 0)
Тогда:
- AB = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
- AD = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)
Вектор нормали плоскости ABCD можно найти с помощью векторного произведения:
\[
n_1 = AB \times AD = (1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
\]
2. **Плоскость CDA1B1**: Векторы, лежащие в этой плоскости, можно взять, например, векторы CD и CA1.
- CD = D - C
- CA1 = A1 - C
Точки:
- C(1, 1, 0)
- D(0, 1, 0)
- A1(0, 0, 1)
Тогда:
- CD = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0)
- CA1 = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1)
Вектор нормали плоскости CDA1B1:
\[
n_2 = CD \times CA1 = (-1, 0, 0) \times (-1, -1, 1) = (0, 1, 1)
\]
3. **Теперь найдем угол между нормалями.** Используем формулу:
\[
\cos \theta = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1| |n_2|}
\]
Векторы:
- \( n_1 = (0, 0, 1) \)
- \( n_2 = (0, 1, 1) \)
Скалярное произведение:
\[
n_1 \cdot n_2 = (0, 0, 1) \cdot (0, 1, 1) = 0 + 0 + 1 = 1
\]
Модули векторов:
\[
|n_1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
\]
\[
|n_2| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Теперь подставим все в формулу:
\[
\cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Таким образом,
\[
\theta = 45°
\]
Ответ: б) 45°.
