Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как ( v ) км/ч.
Скорость лодки против течения будет ( v - 4 ) км/ч, а со скоростью течения — ( v + 4 ) км/ч.
По условию задачи, лодка прошла 77 км против течения, а затем вернулась в пункт отправления. Обозначим время, затраченное на путь против течения, как ( t_1 ), а время на обратный путь — ( t_2 ).
Согласно формуле времени:
[
t_1 = \frac{77}{v - 4}
]
[
t_2 = \frac{77}{v + 4}
]
По условию, время на обратный путь на 2 часа меньше, чем на первый путь:
[
t_2 = t_1 - 2
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{77}{v + 4} = \frac{77}{v - 4} - 2
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( (v + 4)(v - 4) ) для устранения дробей:
[
77(v - 4) = 77(v + 4) - 2(v + 4)(v - 4)
]
Раскроем скобки:
[
77v - 308 = 77v + 308 - 2(v^2 - 16)
]
Сократим ( 77v ) с обеих сторон:
[
-308 = 308 - 2(v^2 - 16)
]
Упростим уравнение:
[
-308 - 308 = -2(v^2 - 16)
]
[
-616 = -2(v^2 - 16)
]
Разделим обе стороны на -2:
[
308 = v^2 - 16
]
Теперь добавим 16 к обеим сторонам:
[
v^2 = 324
]
Теперь найдём ( v ):
[
v = \sqrt{324} = 18 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет 18 км/ч.
