Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как ( v ) км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет равна ( v - 5 ) км/ч, а скорость по течению — ( v + 5 ) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{132}{v - 5}
]
Время, затраченное на обратный путь с течением, будет:
[
t_2 = \frac{132}{v + 5}
]
Согласно условию задачи, известно, что время на обратный путь на 5 часов меньше времени на путь против течения:
[
t_2 = t_1 - 5
]
Подставим значения:
[
\frac{132}{v + 5} = \frac{132}{v - 5} - 5
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( (v + 5)(v - 5) ) для устранения дробей:
[
132(v - 5) = 132(v + 5) - 5(v + 5)(v - 5)
]
Раскроем скобки:
[
132v - 660 = 132v + 660 - 5(v^2 - 25)
]
Упрощаем уравнение:
[
132v - 660 = 132v + 660 - 5v^2 + 125
]
Сократим ( 132v ) с обеих сторон:
[
-660 = 660 - 5v^2 + 125
]
Соберем все в одну сторону:
[
-660 - 660 - 125 = -5v^2
]
Теперь упростим это уравнение:
[
-1445 = -5v^2
]
Умножим обе стороны на -1:
[
5v^2 = 1445
]
Разделим на 5:
[
v^2 = \frac{1445}{5} = 289
]
Теперь возьмём квадратный корень:
[
v = \sqrt{289} = 17
]
Таким образом, скорость моторной лодки в неподвижной воде равна ( 17 ) км/ч.
