сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.

Теорема о средней линии трапеции: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

Доказательство:

1. Пусть трапеция ABCD, где AB // CD, и AB, CD - ее основания.
2. Обозначим A1 и A2 - середины боковых сторон AD и BC соответственно.
3. Проведем отрезок A1A2. Поскольку A1 и A2 - середины отрезков AD и BC, то отрезки A1D и A2C равны и A1A2 будет параллелен CD (по признаку средних линий треугольника).
4. Так как A1A2 параллелен CD, значит, отрезок A1A2 также будет параллелен основанию AB.
5. По свойству параллельных линий, длина A1A2 равна полусумме длин AB и CD: \[ A1A2 = \frac{AB + CD}{2} \]

Ответ: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.