Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю 5, то она увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.
Обозначим числитель дроби за \( x \), а знаменатель за \( y \). По условию, у нас есть следующие уравнения:
- \( y = x + 3 \) (знаменатель больше числителя на 3)
- \(\frac{x + 7}{y + 5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} \) (прибавление к числителю и знаменателю)
Подставим первое уравнение во второе. Мы знаем, что \( y = x + 3 \), подставим \( y \) в уравнение:
\[ \frac{x + 7}{(x + 3) + 5} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2} \]
Упростим знаменатель:
\[ \frac{x + 7}{x + 8} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2} \]
Теперь упростим правую часть уравнения:
\[ \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2} = \frac{2x}{2(x + 3)} + \frac{x + 3}{2(x + 3)} = \frac{2x + (x + 3)}{2(x + 3)} = \frac{3x + 3}{2(x + 3)} = \frac{3(x + 1)}{2(x + 3)} \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ \frac{x + 7}{x + 8} = \frac{3(x + 1)}{2(x + 3)} \]
Перекрестно умножим:
\[ 2(x + 3)(x + 7) = 3(x + 1)(x + 8) \]
Раскроем скобки:
Левая часть:
\[ 2(x^2 + 10x + 21) = 2x^2 + 20x + 42 \]
Правая часть:
\[ 3(x^2 + 9x + 8) = 3x^2 + 27x + 24 \]
Теперь составим уравнение:
\[ 2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 0 = 3x^2 - 2x^2 + 27x - 20x + 24 - 42 \] \[ x^2 + 7x - 18 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 11}{2} \]
Это дает нам два корня:
- \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( x = \frac{-18}{2} = -9 \) (не подходит, так как числитель не может быть отрицательным)
Теперь подставим \( x = 2 \) в уравнение для \( y \):
\[ y = x + 3 = 2 + 3 = 5 \]
Итак, дробь:
\[ \frac{x}{y} = \frac{2}{5} \]
Таким образом, искомая дробь равна \( \frac{2}{5} \).
