Обозначим числитель дроби за ( x ), а знаменатель за ( y ). По условию, у нас есть следующие уравнения:
- ( y = x + 3 ) (знаменатель больше числителя на 3)
- (\frac{x + 7}{y + 5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} ) (прибавление к числителю и знаменателю)
Подставим первое уравнение во второе. Мы знаем, что ( y = x + 3 ), подставим ( y ) в уравнение:
[
\frac{x + 7}{(x + 3) + 5} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2}
]
Упростим знаменатель:
[
\frac{x + 7}{x + 8} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2}
]
Теперь упростим правую часть уравнения:
[
\frac{x}{x + 3} + \frac{1}{2} = \frac{2x}{2(x + 3)} + \frac{x + 3}{2(x + 3)} = \frac{2x + (x + 3)}{2(x + 3)} = \frac{3x + 3}{2(x + 3)} = \frac{3(x + 1)}{2(x + 3)}
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
\frac{x + 7}{x + 8} = \frac{3(x + 1)}{2(x + 3)}
]
Перекрестно умножим:
[
2(x + 3)(x + 7) = 3(x + 1)(x + 8)
]
Раскроем скобки:
Левая часть:
[
2(x^2 + 10x + 21) = 2x^2 + 20x + 42
]
Правая часть:
[
3(x^2 + 9x + 8) = 3x^2 + 27x + 24
]
Теперь составим уравнение:
[
2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24
]
Переносим все в одну сторону:
[
0 = 3x^2 - 2x^2 + 27x - 20x + 24 - 42
]
[
x^2 + 7x - 18 = 0
]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121
]
Находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 11}{2}
]
Это дает нам два корня:
- ( x = \frac{4}{2} = 2 )
- ( x = \frac{-18}{2} = -9 ) (не подходит, так как числитель не может быть отрицательным)
Теперь подставим ( x = 2 ) в уравнение для ( y ):
[
y = x + 3 = 2 + 3 = 5
]
Итак, дробь:
[
\frac{x}{y} = \frac{2}{5}
]
Таким образом, искомая дробь равна ( \frac{2}{5} ).
