1. построить график функции. x²-10x+25/x-5 -2x-x²/x 2. построить график функции. y=(x-2)³/x-2 -4 3. y=-x+2|x|-1 4. {x+3y=10 x²-xy=8
Давайте рассмотрим каждый из пунктов по очереди.
1. Построить график функции
\( f(x) = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x - x^2}{x} \)
Можно упростить выражение:
- \( x^2 - 10x + 25 \) — это полный квадрат, и мы можем записать его как \( (x - 5)^2 \).
- Подставляем это в первое дробное выражение:
\[ f(x) = \frac{(x - 5)^2}{x - 5} - \frac{2x - x^2}{x} \] При условии \( x \neq 5 \):
\[ f(x) = x - 5 - \frac{2x - x^2}{x} = x - 5 - \left(2 - \frac{x}{x}\right) \] Так как \( 2 - x/x = 2 - 1 = 1 \), то:
\[ f(x) = x - 5 - 1 = x - 6, \quad x \neq 5 \] Теперь добавим точку разрыва в \( x = 5 \).
2. Построить график функции
\( y = \frac{(x-2)^3}{x-2} - 4 \)
При условии \( x \neq 2 \): \[ y = (x - 2)^2 - 4 \] Это парабола, которая имеет вершину в точке \((2, -4)\).
3. Построить график функции
\( y = -x + 2|x| - 1 \)
Здесь мы можем рассмотреть два случая:
При \( x \geq 0 \), \( |x| = x \): \[ y = -x + 2x - 1 = x - 1 \]
При \( x < 0 \), \( |x| = -x \): \[ y = -x - 2x - 1 = -3x - 1 \]
Теперь мы можем сделать два отрезка для графика.
4. Решение системы уравнений
\[ \begin{cases} x + 3y = 10 \\ x^2 - xy = 8 \end{cases} \]
Первое уравнение можно выразить через \( y \): \[ y = \frac{10 - x}{3} \]
Теперь подставим это значение в второе уравнение: \[ x^2 - x \cdot \left(\frac{10 - x}{3}\right) = 8 \] Умножим всё на 3 для упрощения:
\[ 3x^2 - x(10 - x) = 24 \] что даёт:
\[ 3x^2 - 10x + x^2 = 24 \implies 4x^2 - 10x - 24 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-24)}}{2 \cdot 4} \]
Таким образом, у вас есть уравнения и графики, которые можно построить с использованием графического калькулятора или программного обеспечения (например, Desmos, GeoGebra и т.д.).
