Давайте рассмотрим каждый из пунктов по очереди.
1. Построить график функции
( f(x) = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x - x^2}{x} )
Можно упростить выражение:
- ( x^2 - 10x + 25 ) — это полный квадрат, и мы можем записать его как ( (x - 5)^2 ).
- Подставляем это в первое дробное выражение:
[
f(x) = \frac{(x - 5)^2}{x - 5} - \frac{2x - x^2}{x}
]
При условии ( x \neq 5 ):
[
f(x) = x - 5 - \frac{2x - x^2}{x} = x - 5 - \left(2 - \frac{x}{x}\right)
]
Так как ( 2 - x/x = 2 - 1 = 1 ), то:
[
f(x) = x - 5 - 1 = x - 6, \quad x \neq 5
]
Теперь добавим точку разрыва в ( x = 5 ).
2. Построить график функции
( y = \frac{(x-2)^3}{x-2} - 4 )
При условии ( x \neq 2 ):
[
y = (x - 2)^2 - 4
]
Это парабола, которая имеет вершину в точке ((2, -4)).
3. Построить график функции
( y = -x + 2|x| - 1 )
Здесь мы можем рассмотреть два случая:
При ( x \geq 0 ), ( |x| = x ):
[
y = -x + 2x - 1 = x - 1
]
При ( x < 0 ), ( |x| = -x ):
[
y = -x - 2x - 1 = -3x - 1
]
Теперь мы можем сделать два отрезка для графика.
4. Решение системы уравнений
[
\begin{cases}
x + 3y = 10 \
x^2 - xy = 8
\end{cases}
]
Первое уравнение можно выразить через ( y ):
[
y = \frac{10 - x}{3}
]
Теперь подставим это значение в второе уравнение:
[
x^2 - x \cdot \left(\frac{10 - x}{3}\right) = 8
]
Умножим всё на 3 для упрощения:
[
3x^2 - x(10 - x) = 24
]
что даёт:
[
3x^2 - 10x + x^2 = 24 \implies 4x^2 - 10x - 24 = 0
]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \
x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-24)}}{2 \cdot 4}
]
Таким образом, у вас есть уравнения и графики, которые можно построить с использованием графического калькулятора или программного обеспечения (например, Desmos, GeoGebra и т.д.).
