Найти сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, если a6= 17,5 и a 15= 36,4
Для нахождения суммы первых 30 членов арифметической прогрессии, нам сначала нужно определить первый член прогрессии и её разность.
Дано:
- \( a_6 = 17,5 \)
- \( a_{15} = 36,4 \)
Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d, \] где \( a_1 \) — первый член, \( d \) — разность прогрессии.
Составим два уравнения на основании данных:
Для \( n = 6 \): \[ a_6 = a_1 + 5d = 17,5 \quad (1) \]
Для \( n = 15 \): \[ a_{15} = a_1 + 14d = 36,4 \quad (2) \]
Теперь найдем \( d \), вычитая уравнение (1) из уравнения (2): \[ (a_1 + 14d) - (a_1 + 5d) = 36,4 - 17,5 \] \[ 9d = 18,9 \] \[ d = \frac{18,9}{9} = 2,1 \]
Теперь подставим найденное значение \( d \) обратно в одно из уравнений. Используем уравнение (1): \[ a_1 + 5 \cdot 2,1 = 17,5 \] \[ a_1 + 10,5 = 17,5 \] \[ a_1 = 17,5 - 10,5 = 7 \]
Теперь мы имеем первый член \( a_1 = 7 \) и разность \( d = 2,1 \).
Найдём сумму первых 30 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \( a_n \) — n-й член прогрессии.
Вычислим \( a_{30} \): \[ a_{30} = a_1 + (30-1) \cdot d = 7 + 29 \cdot 2,1 = 7 + 60,9 = 67,9 \]
Теперь подставим данные в формулу для суммы: \[ S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (a_1 + a_{30}) = 15 \cdot (7 + 67,9) = 15 \cdot 74,9 = 1123,5 \]
Таким образом, сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии составляет 1123,5.
