Для нахождения суммы первых 30 членов арифметической прогрессии, нам сначала нужно определить первый член прогрессии и её разность.
Дано:
- ( a_6 = 17,5 )
- ( a_{15} = 36,4 )
Формула для n-го члена арифметической прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d,
]
где ( a_1 ) — первый член, ( d ) — разность прогрессии.
Составим два уравнения на основании данных:
Для ( n = 6 ):
[
a_6 = a_1 + 5d = 17,5 \quad (1)
]
Для ( n = 15 ):
[
a_{15} = a_1 + 14d = 36,4 \quad (2)
]
Теперь найдем ( d ), вычитая уравнение (1) из уравнения (2):
[
(a_1 + 14d) - (a_1 + 5d) = 36,4 - 17,5
]
[
9d = 18,9
]
[
d = \frac{18,9}{9} = 2,1
]
Теперь подставим найденное значение ( d ) обратно в одно из уравнений. Используем уравнение (1):
[
a_1 + 5 \cdot 2,1 = 17,5
]
[
a_1 + 10,5 = 17,5
]
[
a_1 = 17,5 - 10,5 = 7
]
Теперь мы имеем первый член ( a_1 = 7 ) и разность ( d = 2,1 ).
Найдём сумму первых 30 членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
где ( a_n ) — n-й член прогрессии.
Вычислим ( a_{30} ):
[
a_{30} = a_1 + (30-1) \cdot d = 7 + 29 \cdot 2,1 = 7 + 60,9 = 67,9
]
Теперь подставим данные в формулу для суммы:
[
S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (a_1 + a_{30}) = 15 \cdot (7 + 67,9) = 15 \cdot 74,9 = 1123,5
]
Таким образом, сумма тридцати первых членов арифметической прогрессии составляет 1123,5.
