решить квадратное неравенств x^2-2x-3≥0

Для решения квадратного неравенства \( x^2 - 2x - 3 \geq 0 \) сначала преобразуем его в более удобную форму, найдем корни соответствующего квадратного уравнения.

Решим уравнение:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \).

Подставляем значения:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Теперь найдем корни:

1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)

Корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).

Теперь определим промежутки, на которых выражение \( x^2 - 2x - 3 \) принимает неотрицательные значения. Это можно сделать, используя корни и тестирование знаков на промежутках:

1. \( (-\infty, -1) \)
2. \( (-1, 3) \)
3. \( (3, +\infty) \)

Теперь проверим знак на этих промежутках:

1. Для промежутка \( (-\infty, -1) \): например, \( x = -2 \) \[ (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \geq 0 \quad (\text{истина}) \]

2. Для промежутка \( (-1, 3) \): например, \( x = 0 \) \[ 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0 \quad (\text{ложь}) \]

3. Для промежутка \( (3, +\infty) \): например, \( x = 4 \) \[ 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \geq 0 \quad (\text{истина}) \]

Теперь можно записать решение квадратного неравенства:

\[ x^2 - 2x - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty) \]

Таким образом, ответ:

\[ x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty) \]