Решить квадратное неравенств x^2-2x-3≥0

Для решения квадратного неравенства \( x^2 - 2x - 3 \geq 0 \) сначала преобразуем его в более удобную форму, найдем корни соответствующего квадратного уравнения. Решим уравнение: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] Теперь найдем корни: 1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) Корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \). Теперь определим промежутки, на которых выражение \( x^2 - 2x - 3 \) принимает неотрицательные значения. Это можно сделать, используя корни и тестирование знаков на промежутках: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( (-1, 3) \) 3. \( (3, +\infty) \) Теперь проверим знак на этих промежутках: 1. **Для промежутка \( (-\infty, -1) \)**: например, \( x = -2 \) \[ (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \geq 0 \quad (\text{истина}) \] 2. **Для промежутка \( (-1, 3) \)**: например, \( x = 0 \) \[ 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0 \quad (\text{ложь}) \] 3. **Для промежутка \( (3, +\infty) \)**: например, \( x = 4 \) \[ 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \geq 0 \quad (\text{истина}) \] Теперь можно записать решение квадратного неравенства: \[ x^2 - 2x - 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty) \] Таким образом, ответ: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty) \]