Диагонали ромба относятся как 5:9, а их сумма равна56 .

Обозначим длины диагоналей ромба как \(d_1\) и \(d_2\). Согласно условию, мы имеем два уравнения:

1. \( \frac{d_1}{d_2} = \frac{5}{9} \)
2. \( d_1 + d_2 = 56 \)

Первое уравнение можно переписать как:

\[ d_1 = \frac{5}{9} d_2 \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \frac{5}{9} d_2 + d_2 = 56 \]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{5}{9} d_2 + \frac{9}{9} d_2 = 56 \]

\[ \frac{5 + 9}{9} d_2 = 56 \]

\[ \frac{14}{9} d_2 = 56 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( \frac{9}{14} \):

\[ d_2 = 56 \cdot \frac{9}{14} \]

Сократим:

\[ d_2 = 4 \cdot 9 = 36 \]

Теперь найдем \(d_1\):

\[ d_1 = \frac{5}{9} d_2 = \frac{5}{9} \cdot 36 \]

\[ d_1 = 5 \cdot 4 = 20 \]

Итак, длины диагоналей ромба:

\[ d_1 = 20 \] \[ d_2 = 36 \]