Чтобы определить путь, пройденный материальной точкой за первую секунду, нам нужно вычислить интеграл скорости на интервале от 0 до 1 секунды.
Скорость задана как:
[ v(t) = 12t^3 + 2t + 4 ]
Для нахождения пути ( S ) за время от 0 до 1 секунды, нужно вычислить определённый интеграл скорости:
[
S = \int_0^1 v(t) , dt = \int_0^1 (12t^3 + 2t + 4) , dt
]
Теперь найдем этот интеграл:
[
S = \int_0^1 (12t^3) , dt + \int_0^1 (2t) , dt + \int_0^1 (4) , dt
]
Считаем каждый из интегралов по отдельности:
(\int_0^1 (12t^3) , dt = 12 \cdot \frac{t^4}{4} \Big|_0^1 = 12 \cdot \frac{1}{4} - 0 = 3)
(\int_0^1 (2t) , dt = 2 \cdot \frac{t^2}{2} \Big|_0^1 = 1 - 0 = 1)
(\int_0^1 (4) , dt = 4t \Big|_0^1 = 4 \cdot 1 - 0 = 4)
Теперь складываем все результаты:
[
S = 3 + 1 + 4 = 8
]
Таким образом, путь, пройденный точкой за первую секунду движения, составляет 8 единиц длины.
