Давайте обозначим:
- скорость работы мастера (количество деталей, которые мастер делает за час) через ( m ).
- скорость работы ученика (количество деталей, которые ученик делает за час) через ( u ).
Согласно условию задачи:
- Ученик на 9 часов больше тратит на изготовление 324 деталей, чем мастер на изготовление 549 деталей.
- Ученик делает на 16 деталей меньше, чем мастер, т.е. ( u = m - 16 ).
Теперь найдем времени, затрачиваемое мастером и учеником на изготовление деталей:
Время, затраченное мастером:
[
t_m = \frac{549}{m}
]
Время, затраченное учеником:
[
t_u = \frac{324}{u}
]
По условию задачи у нас есть следующее уравнение:
[
t_u = t_m + 9
]
Подставим наши выражения для времени:
[
\frac{324}{u} = \frac{549}{m} + 9
]
Заменим ( u ) выражением через ( m ):
[
\frac{324}{m - 16} = \frac{549}{m} + 9
]
Теперь умножим обе части уравнения на ( m(m - 16) ) для избавления от дробей:
[
324m = 549(m - 16) + 9m(m - 16)
]
Раскроем скобки:
[
324m = 549m - 8784 + 9m^2 - 144m
]
Соберем все слагаемые в одну сторону:
[
9m^2 - 549m + 324m + 144m - 8784 = 0
]
[
9m^2 - 81m - 8784 = 0
]
Разделим все уравнение на 9:
[
m^2 - 9m - 976 = 0
]
Теперь используем формулу квадратного уравнения ( m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
[
m = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(1)(-976)}}{2(1)}
]
[
m = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 3904}}{2}
]
[
m = \frac{9 \pm \sqrt{3985}}{2}
]
Находим квадратный корень:
[
\sqrt{3985} \approx 63.14
]
[
m \approx \frac{9 + 63.14}{2} \quad \text{и} \quad m \approx \frac{9 - 63.14}{2}
]
Первое значение:
[
m \approx \frac{72.14}{2} \approx 36.07
]
Второе значение будет отрицательным, что не имеет смысла в контексте этой задачи. Поэтому принимаем: ( m \approx 36 ) (округляем).
Теперь найдем скорость ученика:
[
u = m - 16 = 36 - 16 = 20
]
Таким образом, ученик делает 20 деталей в час.
