Для нахождения вероятности того, что стрелок попадёт в мишень ровно 4 раза из 8 выстрелов, мы можем использовать биномиальную распределение.
Формула для биномиальной вероятности выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- (C(n, k)) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}),
- (n) — общее количество испытаний (в нашем случае 8),
- (k) — количество успешных исходов (в нашем случае 4),
- (p) — вероятность успеха (в нашем случае 0.4),
- ((1 - p)) — вероятность неуспеха (в нашем случае 0.6).
Теперь подставим данные в формулу:
- Находим биномиальный коэффициент (C(8, 4)):
[
C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = 70
]
- Рассчитаем (p^k) и ((1 - p)^{n - k}):
[
p^k = (0.4)^4 = 0.0256
]
[
(1 - p)^{n - k} = (0.6)^{8 - 4} = (0.6)^4 = 0.1296
]
- Подставим всё в формулу:
[
P(X = 4) = C(8, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^4 = 70 \cdot 0.0256 \cdot 0.1296
]
Теперь произведем вычисления:
[
P(X = 4) = 70 \cdot 0.0256 \cdot 0.1296 \approx 70 \cdot 0.003318976 \approx 0.23232932
]
Округляя до тысячных, получаем:
[
P(X = 4) \approx 0.232
]
Итак, вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно 4 раза, составляет approximately 0.232.
