Стрелок 8 раз стреляет по мишени. Найдите вероятность того, что он попадёт в мишень ровно 4 раза, если известно, что вероятность успеха равна 0,4. Ответ округлите до тысячных.
Для нахождения вероятности того, что стрелок попадёт в мишень ровно 4 раза из 8 выстрелов, мы можем использовать биномиальную распределение.
Формула для биномиальной вероятности выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),
- \(n\) — общее количество испытаний (в нашем случае 8),
- \(k\) — количество успешных исходов (в нашем случае 4),
- \(p\) — вероятность успеха (в нашем случае 0.4),
- \((1 - p)\) — вероятность неуспеха (в нашем случае 0.6).
Теперь подставим данные в формулу:
- Находим биномиальный коэффициент \(C(8, 4)\):
\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = 70 \]
- Рассчитаем \(p^k\) и \((1 - p)^{n - k}\):
\[ p^k = (0.4)^4 = 0.0256 \]
\[ (1 - p)^{n - k} = (0.6)^{8 - 4} = (0.6)^4 = 0.1296 \]
- Подставим всё в формулу:
\[ P(X = 4) = C(8, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^4 = 70 \cdot 0.0256 \cdot 0.1296 \]
Теперь произведем вычисления:
\[ P(X = 4) = 70 \cdot 0.0256 \cdot 0.1296 \approx 70 \cdot 0.003318976 \approx 0.23232932 \]
Округляя до тысячных, получаем:
\[ P(X = 4) \approx 0.232 \]
Итак, вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно 4 раза, составляет approximately 0.232.
