Для решения задач, давайте используем некоторые известные модели вероятности.
Задача 3
Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна ( p = 0.2 ). Следовательно, вероятность того, что телевизор не потребует ремонта, равна ( q = 1 - p = 0.8 ).
а) Нам нужно найти вероятность того, что не более одного телевизора из 6 потребует ремонта. Это означает, что мы можем иметь 0 или 1 телевизор в ремонте. Мы используем биномиальное распределение с параметрами ( n = 6 ) и ( p = 0.2 ).
Вероятность того, что 0 телевизоров потребует ремонта:
[
P(X = 0) = C(6, 0) \cdot p^0 \cdot q^6 = 1 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^6 = (0.8)^6 \approx 0.262144
]
Вероятность того, что 1 телевизор потребует ремонта:
[
P(X = 1) = C(6, 1) \cdot p^1 \cdot q^5 = 6 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^5 = 6 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^5 \approx 0.393216
]
Теперь сложим эти вероятности:
[
P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.262144 + 0.393216 = 0.65536
]
Таким образом, вероятность того, что не более одного телевизора потребует ремонта, составляет примерно ( 0.655 ).
б) Теперь нужно найти вероятность того, что хотя бы один телевизор не потребует ремонта. Это событие противоположно событию, когда все 6 телевизоров требуют ремонта.
- Вероятность того, что все 6 телевизоров потребуют ремонта:
[
P(X = 6) = C(6, 6) \cdot p^6 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.2)^6 \cdot (0.8)^0 = (0.2)^6 \approx 0.000064
]
Таким образом, вероятность того, что хотя бы один телевизор не потребует ремонта:
[
P(\text{хотя бы 1 не требует ремонта}) = 1 - P(X = 6) \approx 1 - 0.000064 = 0.999936
]
Задача 4
Предположим, что вероятность выигрыша одной партии равна ( p = 0.5 ) (при равных шансах).
- Не менее двух партий из трех: Возможные случаи: 2 выигрыша и 3 выигрыша.
[
P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
]
Вероятность того, что 2 партии будут выиграны:
[
P(Y = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375
]
Вероятность того, что 3 партии будут выиграны:
[
P(Y = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.5)^3 = 0.125
]
Сложим эти вероятности:
[
P(Y \geq 2) = 0.375 + 0.125 = 0.5
]
- Не более одной партии из двух: Возможные случаи: 0 выигрышей и 1 выигрыш.
[
P(Z \leq 1) = P(Z = 0) + P(Z = 1)
]
Вероятность 0 выигрышей:
[
P(Z = 0) = C(2, 0) \cdot p^0 \cdot q^2 = 1 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^2 = 0.25
]
Вероятность 1 выигрыша:
[
P(Z = 1) = C(2, 1) \cdot p^1 \cdot q^1 = 2 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^1 = 0.5
]
Сложим эти вероятности:
[
P(Z \leq 1) = 0.25 + 0.5 = 0.75
]
Сравнение вероятностей
- Вероятность выиграть не менее двух из трех партий: ( 0.5 )
- Вероятность выиграть не более одной из двух партий: ( 0.75 )
Таким образом, более вероятно выиграть не более одной из двух партий.
