Задача 3. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6…

Для решения задач, давайте используем некоторые известные модели вероятности.

Задача 3

Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна \( p = 0.2 \). Следовательно, вероятность того, что телевизор не потребует ремонта, равна \( q = 1 - p = 0.8 \).

а) Нам нужно найти вероятность того, что не более одного телевизора из 6 потребует ремонта. Это означает, что мы можем иметь 0 или 1 телевизор в ремонте. Мы используем биномиальное распределение с параметрами \( n = 6 \) и \( p = 0.2 \).

1. Вероятность того, что 0 телевизоров потребует ремонта: \[ P(X = 0) = C(6, 0) \cdot p^0 \cdot q^6 = 1 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^6 = (0.8)^6 \approx 0.262144 \]

2. Вероятность того, что 1 телевизор потребует ремонта: \[ P(X = 1) = C(6, 1) \cdot p^1 \cdot q^5 = 6 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^5 = 6 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^5 \approx 0.393216 \]

Теперь сложим эти вероятности: \[ P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.262144 + 0.393216 = 0.65536 \]

Таким образом, вероятность того, что не более одного телевизора потребует ремонта, составляет примерно \( 0.655 \).

б) Теперь нужно найти вероятность того, что хотя бы один телевизор не потребует ремонта. Это событие противоположно событию, когда все 6 телевизоров требуют ремонта.

1. Вероятность того, что все 6 телевизоров потребуют ремонта: \[ P(X = 6) = C(6, 6) \cdot p^6 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.2)^6 \cdot (0.8)^0 = (0.2)^6 \approx 0.000064 \]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один телевизор не потребует ремонта: \[ P(\text{хотя бы 1 не требует ремонта}) = 1 - P(X = 6) \approx 1 - 0.000064 = 0.999936 \]

Задача 4

Предположим, что вероятность выигрыша одной партии равна \( p = 0.5 \) (при равных шансах).

1. Не менее двух партий из трех: Возможные случаи: 2 выигрыша и 3 выигрыша. \[ P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) \]

• Вероятность того, что 2 партии будут выиграны: \[ P(Y = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 0.375 \]

• Вероятность того, что 3 партии будут выиграны: \[ P(Y = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.5)^3 = 0.125 \]

Сложим эти вероятности: \[ P(Y \geq 2) = 0.375 + 0.125 = 0.5 \]

2. Не более одной партии из двух: Возможные случаи: 0 выигрышей и 1 выигрыш. \[ P(Z \leq 1) = P(Z = 0) + P(Z = 1) \]

• Вероятность 0 выигрышей: \[ P(Z = 0) = C(2, 0) \cdot p^0 \cdot q^2 = 1 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^2 = 0.25 \]

• Вероятность 1 выигрыша: \[ P(Z = 1) = C(2, 1) \cdot p^1 \cdot q^1 = 2 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^1 = 0.5 \]

Сложим эти вероятности: \[ P(Z \leq 1) = 0.25 + 0.5 = 0.75 \]

Сравнение вероятностей

• Вероятность выиграть не менее двух из трех партий: \( 0.5 \)
• Вероятность выиграть не более одной из двух партий: \( 0.75 \)

Таким образом, более вероятно выиграть не более одной из двух партий.