Реши

Давайте решим задания по порядку.

1. Найдите критические точки функции:

a) \( f(x) = 12x - x^3 \)

Найдите производную функции: \[ f'(x) = 12 - 3x^2 \]

Приравняйте производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 12 - 3x^2 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

б) \( f(x) = x^2 \cos x \)

Для нахождения производной используйте правило произведения: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \cos x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \] \[ f'(x) = 2x\cos x - x^2\sin x \]

Приравняйте производную к нулю: \[ 2x \cos x - x^2 \sin x = 0 \] \[ x(2\cos x - x \sin x) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и точки, где \( 2\cos x - x \sin x = 0 \).

2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

\[ g(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3 \]

Для этого найдите производную: \[ g'(x) = 24 - 6x - 3x^2 \]

Исследуйте знаки производной на промежутках, определённых корнями уравнения: \[ 24 - 6x - 3x^2 = 0 \] \[ x = -2 \] и найдите ещё один корень (решение квадратного уравнения).

Проанализируйте знаки на каждом промежутке, чтобы определить, где функция возрастает или убывает.

3. Найдите точки экстремума функции:

\[ f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \]

Найдите производную, используя правило частного: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2 + 3)}{(x + 1)^2} \]

Приравняйте производную к нулю и найдите точки, где производная меняет знак.

4. Докажите, что функция \( g(x) \) на множестве \( \mathbb{R} \) является убывающей, если:

\[ g(x) = 5 - 2x - 3x^2 - 4x^7 \]

Найдите производную: \[ g'(x) = -2 - 6x - 28x^6 \]

Покажите, что \( g'(x) < 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), соответственно, функция является убывающей на всём множестве.