ABCD прямоугольная трапеция BC-2 см, угол C 135°,AD-8 см. Найдите площадь

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции \(ABCD\), где \(BC = 2\) см, угол \(C = 135^\circ\), и \(AD = 8\) см, можно воспользоваться формулой для площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(h\) - высота.

Шаг 1: Найдем высоту \(h\)

Так как у нас угол \(C\) равен \(135^\circ\), угол \(B\) будет равен \(45^\circ\), поскольку сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

Прямоугольная трапеция означает, что \(AB\) перпендикулярно \(BC\). Мы можем провести перпендикуляр из точки \(C\) до основания \(AD\), обозначив его как \(CH\).

Шаг 2: Найдем \(CH\) (высоту)

Так как \(C\) образует угол \(135^\circ\) с основанием \(AD\), мы можем использовать тригонометрические функции:

\[ h = BC \cdot \sin(135^\circ) \]

С учетом, что \(\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ h = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем длину основания \(AB\)

Теперь найдем \(AB\). В прямоугольной трапеции \(AD\) и \(BC\) параллельны, и высота \(h\) делит сегмент \(AD\) на два отрезка. Обозначим длину отрезка \(AH\) как \(x\). Тогда:

\[ AD = AH + BC + HB \Rightarrow 8 = x + 2 + \sqrt{2} \]

Итак, \(AB = AD - BC\):

\[ AB = 8 - 2 = 6 \text{ см} \]

Шаг 4: Подставляем значения в формулу площади

Подставим полученные значения в формулу площади:

\[ S = \frac{(AB + BC) \cdot h}{2} = \frac{(6 + 2) \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь трапеции \(ABCD\) равна:

\[ S = 4\sqrt{2} \text{ см}^2 \approx 5.66 \text{ см}^2 \]