непрерывная случайная величина задана плотностью вероятности f(x)={A, если x є [1,8] и O, если x не принадлежит [1,8]. Вычислить константу А, математическое ожидание, дисперсию и…

Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью вероятности \( f(x) \), необходимо сначала найти константу \( A \). Условие для плотности вероятности гласит, что интеграл плотности по всей области её определения должен равняться 1:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \]

В данном случае, \( f(x) = A \) на интервале \([1, 8]\) и \( f(x) = 0 \) в остальных местах. Следовательно, можно записать:

\[ \int_{1}^{8} A \, dx = 1 \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ A \int_{1}^{8} 1 \, dx = A \cdot (8 - 1) = 7A \]

Приравниваем к 1:

\[ 7A = 1 \implies A = \frac{1}{7} \]

Теперь мы знаем, что плотность вероятности:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{7}, & \text{если } x \in [1, 8] \\ 0, & \text{иначе} \end{cases} \]

Математическое ожидание

Математическое ожидание \( E(X) \) считается по формуле:

\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{1}^{8} x \cdot \frac{1}{7} \, dx \]

Вычислим интеграл:

\[ E(X) = \frac{1}{7} \int_{1}^{8} x \, dx \]

\[ \int_{1}^{8} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{8} = \frac{8^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{64}{2} - \frac{1}{2} = 32 - 0.5 = 31.5 \]

Теперь подставим:

\[ E(X) = \frac{1}{7} \cdot 31.5 = \frac{31.5}{7} \approx 4.5 \]

Дисперсия

Дисперсия \( D(X) \) считается по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала вычислим \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{1}^{8} x^2 \cdot \frac{1}{7} \, dx \]

Вычислим интеграл:

\[ E(X^2) = \frac{1}{7} \int_{1}^{8} x^2 \, dx \]

\[ \int_{1}^{8} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{8} = \frac{8^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{512}{3} - \frac{1}{3} = \frac{511}{3} \]

Теперь подставим:

\[ E(X^2) = \frac{1}{7} \cdot \frac{511}{3} = \frac{511}{21} \]

Теперь можно найти дисперсию:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{511}{21} - \left(\frac{31.5}{7}\right)^2 \]

Вычислим \( (E(X))^2 \):

\[ \left(\frac{31.5}{7}\right)^2 = \frac{992.25}{49} = \frac{992.25 \times 3}{147} = \frac{2976.75}{147} \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = \frac{511}{21} - \frac{992.25}{49} \]

Для упрощения (предпочтительно привести к общему знаменателю, например, 147):

\[ \frac{511}{21} = \frac{511 \cdot 7}{147} = \frac{3577}{147} \]

Теперь \( D(X) = \frac{3577}{147} - \frac{2976.75}{147} = \frac{600.25}{147} \approx 4.08 \)

Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) вычисляется как:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)} \approx \sqrt{4.08} \approx 2.02 \]

Результаты

• Константа \( A = \frac{1}{7} \)
• Математическое ожидание \( E(X) \approx 4.5 \)
• Дисперсия \( D(X) \approx 4.08 \)
• Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 2.02 \)