многочлен второй степени p(x) имеет ровно один корень. многочлен второй степени Q(x) имеет ровно один корень, отличный от корня P(x) может ли многочлен R(x)=P(x)+Q(x) иметь корни
Да, многочлен \( R(x) = P(x) + Q(x) \) может иметь корни, даже если многочлены \( P(x) \) и \( Q(x) \) имеют ровно по одному корню каждый, и эти корни различны.
Чтобы понять, как это возможно, можно рассмотреть следующие моменты:
Определение корня: Если многочлен \( P(x) \) имеет ровно один корень \( a \) (например, это может быть кратный корень, как \( P(x) = (x - a)^2 \)), и многочлен \( Q(x) \) имеет ровно один корень \( b \) (где \( b \neq a \)), то мы имеем: \[ P(x) = k(x - a)^2 \] \[ Q(x) = m(x - b)^2 \] для некоторых коэффициентов \( k \) и \( m \).
Сложение многочленов: Теперь рассмотрим их сумму: \[ R(x) = P(x) + Q(x) = k(x - a)^2 + m(x - b)^2. \] Данное выражение – это сумма двух квадратичных функций.
Возможные корни: Чтобы \( R(x) \) имел корни, необходимо, чтобы \( R(x) = 0 \) для некоторого \( x \). Это может произойти, если графики \( P(x) \) и \( Q(x) \) пересекаются в какой-то другой точке, что приводит к появлению корней у суммы \( R(x) \).
Следовательно, даже при наличии по одному корню в каждом из многочленов \( P(x) \) и \( Q(x) \) (различных корней), многочлен \( R(x) \) может иметь другие корни.
