Реши все через дискриминант
Для решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта (D), воспользуемся формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Корни уравнения находятся по формулам:
- Если \( D > 0 \), уравнение имеет два различных вещественных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]
- Если \( D = 0 \), уравнение имеет один вещественный корень: \[ x = \frac{-b}{2a} \]
- Если \( D < 0 \), уравнение не имеет вещественных корней.
Разберём уравнения по порядку:
a) \( 3x^2 - 14x + 16 = 0 \)
\( a = 3 \), \( b = -14 \), \( c = 16 \)
\( D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \)
\[ x_1 = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] \[ x_2 = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
b) \( 5x^2 - 16x + 3 = 0 \)
\( a = 5 \), \( b = -16 \), \( c = 3 \)
\( D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 \)
\[ x_1 = \frac{16 + 14}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] \[ x_2 = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \]
c) \( x^2 - 2x - 80 = 0 \)
\( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -80 \)
\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \)
\[ x_1 = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]
d) \( 15y^2 - 22y - 3 = 0 \)
\( a = 15 \), \( b = -22 \), \( c = -3 \)
\( D = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-3) = 484 + 180 = 664 \)
\[ y_1 = \frac{22 + \sqrt{664}}{30} \] \[ y_2 = \frac{22 - \sqrt{664}}{30} \]
e) \( 17x^2 - 20x + 3 = 0 \)
\( a = 17 \), \( b = -20 \), \( c = 3 \)
\( D = (-20)^2 - 4 \cdot 17 \cdot 3 = 400 - 204 = 196 \)
\[ x_1 = \frac{20 + 14}{34} = \frac{34}{34} = 1 \] \[ x_2 = \frac{20 - 14}{34} = \frac{6}{34} = \frac{3}{17} \]
f) \( 30x^2 + 14x = 0 \)
\( a = 30 \), \( b = 14 \), \( c = 0 \)
\( D = 14^2 - 4 \cdot 30 \cdot 0 = 196 \)
\[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = \frac{-14}{60} = -\frac{7}{30} \]
g) \( 3y^2 - 10y - 25 = 0 \)
\( a = 3 \), \( b = -10 \), \( c = -25 \)
\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400 \)
\[ y_1 = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5 \] \[ y_2 = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]
